Cho ∆ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi M là trung điểm của AH, qua M kẻ đường thẳng song song với AB. Gọi K là giao điểm của MN và AH.

Cho các khẳng định sau:

(I) CM là đường cao của ∆ANC;

(II) CM ⊥ AN;

(III) NK, AH và CM đồng quy tại M.

 Có bao nhiêu khẳng định đúng?

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

ΔMPQ vuông tại M có MQ = MP nên là tam giác vuông cân tại M, do đó $\widehat{MQP}=45°.$

Suy ra $\widehat{SQN}=\widehat{MQP}=45°$ (đối đỉnh)

Tương tự, ΔMNR vuông cân tại M có $\widehat{MNR}=45°.$

Trong ΔNSQ có: $\widehat{SQN}=45°$ và $\widehat{SNQ}=45°$

Do đó $\widehat{QSN}=90°$ nên QS ⊥ NS hay PS ⊥ NR.

Trong ΔNPR có các đường cao PS và MN cắt nhau tại Q.

Suy ra Q là trực tâm ΔNPR.

Ta có: MN, PS và RQ là ba đường cao của tam giác NPR nên đồng quy tại Q.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

⦁ Trong ∆AHC vuông tại H, dễ dàng chứng minh được $AI=CI=HI=\frac{1}{2}AC.$

Do đó I cách đều ba đỉnh của tam giác nên I là giao điểm ba trung trực của ∆AHC.

⦁ Ta có AH ⊥ BC, DI ⊥ BC suy ra AH // DI nên $\widehat{KDI}=\widehat{HKD}$ (so le trong);

AH ⊥ BC, IK ⊥ AK suy ra IK // BC nên $\widehat{HDK}=\widehat{IKD}$ (so le trong).

Xét ∆KHD và ∆DIK có:

$\widehat{HKD}=\widehat{KDI};$ KD là cạnh chung; $\widehat{HDK}=\widehat{IKD}$

Do đó ∆KHD = ∆DIK (g.c.g).

Suy ra HK = ID, HD = IK (các cặp cạnh tương ứng)

Xét ∆KDH (vuông tại H) và ∆ICD (vuông tại D) có:

HK = ID (chứng minh trên);

HD = DC (do DI là trung trực của HC).

Do đó ∆KDH = ∆IDC (hai cạnh góc vuông).

Suy ra $\widehat{KDH}=\widehat{ICD}$ (hai góc tương ứng)

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên DK // AC.

Lại có AB ⊥ AC nên DK ⊥ AB

Trong ∆ABD có: AH ⊥ BD (giả thiết), DK ⊥ AB và AH cắt DK tại K

Do đó K là trực tâm ∆ABD, suy ra BK ⊥ AD.