Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A(1; −1) và B(3; 4). Gọi (d) là một đường thẳng bất kì luôn đi qua B. Khi khoảng cách từ A đến đường thẳng (d) đạt giá trị lớn nhất, đường thẳng (d) có phương trình nào dưới đây?

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng d song song với đường thẳng d’ nên phương trình đường thẳng d’ có dạng 3x + 4y + c = 0.

Lấy điểm M(–1; 1) thuộc vào d’ nên ta có:

$d\left(d,d^{\text{'}}\right)=d\left(M,d^{\text{'}}\right)=2\iff \frac{\left|-3+4+c\right|}{5}=2\iff \left|c+1\right|=10\iff \left[\begin{array}{l}c=9\\ c=-11\end{array}\right.$.

Với c = 9 ta có d : 3x + 4y + 9 = 0.

Với c = –11 ta có d: 3x + 4y – 11 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Gọi H(x₀; y₀) là điểm cố định mà đường thẳng Δ luôn đi qua.

Khi đó x₀ + (m – 1)y₀ + m = 0 với mọi m

⇔ (y₀ + 1)m + x₀ – y₀ = 0 với mọi m

$\iff \left\{\begin{array}{l}{y}_0+1=0\\ x_0-y_0=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{y}_0=-1\\ x_0=y_0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_0=-1\\ y_0=-1\end{array}\right.$

Suy ra Δ luôn đi qua điểm cố định H(–1; –1).

Với A(5; 1) và H(–1; –1) ta có $\overrightarrow{AH}=\left(-6;-2\right)$ nên $AH=\sqrt{{\left(-6\right)}^2+{\left(-2\right)}^2}=2\sqrt{10}.$

Gọi M là hình chiếu của A trên Δ, ta có d(A, ∆) = AM ≤ AH.

Giá trị lớn nhất của d(A, Δ) = AH khi M ≡ H, suy ra maxd(A, Δ) = AH = $2\sqrt{10}$.