Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1;2] và f(1) + f(2) = 0. Biết ∫12(f(x))2 dx=12,∫12f'(x)cos(πx)dx=π2 . Tính ∫12f(x)dx . A. π B. 1π C. 2π D. -2π

Đặt I=∫12f'(x)cos(πx)dx=π2 . Đặt u=cos(πx)dv=f'xdx⇒du=−πsinπx.dxv=fx ⇒I=fxcos(πx)12+π∫12fxsinπx.dx ⇒I=f2cos2π−f1cosπ+π∫12fxsinπx.dx ⇒∫12fxsinπx.dx=12. Ta có ∫12sin2πx.dx=12∫121−cos2πxdx=12x−sin2πx2π12=12. Do đó ∫12(f(x))2 dx−2∫12f(x)sin(πx)dx+∫12sinπx2dx=0 ∫12f2x−2fxsinπx+sinπx2=0⇔∫12fx−sinπx2dx=0. Do đó ∫12f(x)dx=∫12sinπx.dx=−1πcosπx12=−2π.

Câu hỏi:

23/02/2024 424

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1;2] và f(1) + f(2) = 0. Biết $\int_{1}^{2} (f (x))^{2} d x = \frac{1}{2}, \int_{1}^{2} f^{'} (x) \cos (π x) d x = \frac{π}{2}$ . Tính $\int_{1}^{2} f (x) d x$ .

A. $π$

B. $\frac{1}{π}$

C. $\frac{2}{π}$

D. $\frac{- 2}{π}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán (Đề 10) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đặt $I = \int_{1}^{2} f^{'} (x) \cos (π x) d x = \frac{π}{2}$ .

Đặt $\{\begin{cases} u = \cos (π x) \\ d v = f^{'} (x) d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = - π \sin π x . d x \\ v = f (x) \end{cases}$

$\Rightarrow I = {f (x) \cos (π x)|}_{1}^{2} + π \int_{1}^{2} f (x) \sin π x . d x$

$\Rightarrow I = f (2) \cos 2 π - f (1) \cos π + π \int_{1}^{2} f (x) \sin π x . d x$

$\Rightarrow \int_{1}^{2} f (x) \sin π x . d x = \frac{1}{2} .$

Ta có $\int_{1}^{2} \sin^{2} π x . d x = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} (1 - \cos 2 π x) d x = \frac{1}{2} {(x - \frac{\sin 2 π x}{2 π})|}_{1}^{2} = \frac{1}{2} .$

Do đó $\int_{1}^{2} (f (x))^{2} d x - 2 \int_{1}^{2} f (x) \sin (π x) d x + \int_{1}^{2} {(\sin π x)}^{2} d x = 0$

$\int_{1}^{2} [f^{2} (x) - 2 f (x) \sin π x + {(\sin π x)}^{2}] = 0 \Leftrightarrow \int_{1}^{2} {[f (x) - \sin π x]}^{2} d x = 0$ .

Do đó

\int_{1}^{2} f (x) d x = \int_{1}^{2} \sin π x . d x = \frac{- 1}{π} {\cos π x|}_{1}^{2} = \frac{- 2}{π} .

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Từ một hộp chứa 12 quả bóng gồm 5 quả màu đỏ và 7 quả màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả. Xác suất để lấy được 3 quả màu đỏ bằng

A. $\frac{1}{22}$

B. $\frac{2}{7}$

C. $\frac{7}{44}$

D. $\frac{5}{12}$

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Số phần tử của không gian mẫu: $n (Ω) = C_{12}^{3}$ .

Gọi là biến cố lấy được 3 quả cầu màu đỏ, khi đó: $n (A) = C_{5}^{3}$ .

Vậy xác suất để lấy được 3 quả cầu màu đỏ bằng: $p (A) = \frac{C_{5}^{3}}{C_{12}^{3}} = \frac{1}{22}$ .

Câu 2

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;3;0) và B(5;1;-2). Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình

A. $3 x + 2 y - z - 14 = 0$

B. $2 x - y - z + 5 = 0$

C. $2 x - y - z - 5 = 0$

D. $x + 2 y + 2 z - 3 = 0$

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $\vec{A B} (4; - 2; - 2)$

Suy ra, mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB nhận $\vec{n} (2; - 1; - 1)$ làm một vectơ pháp tuyến và đi qua trung điểm $I (3; 2; - 1)$ của đoạn AB nên có phương trình

$2 (x - 3) - (y - 2) - (z + 1) = 0 \Leftrightarrow 2 x - y - z - 5 = 0$

Câu 3

Tập nghiệm của bất phương trình $3^{x} \geq 5$ là

A. $(\log_{3} 5; + \infty)$

B. $(- \infty; \log_{5} 3)$

C. $(- \infty; \log_{3} 5]$

D. $[\log_{3} 5; + \infty)$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(P) : 2 x + y - z + 3 = 0$ . Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của ?

A. $\vec{n_{3}} (1; - 1; 3)$

B. $\vec{n_{1}} (2; 1; 3)$

C. $\vec{n_{4}} (2; - 1; 3)$

D. $\vec{n_{2}} (2; 1; - 1)$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng $a \sqrt{5}$ . Góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy bằng

A. $70 °$

B. $45 °$

C. $60 °$

D. $30 °$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Tập xác định của hàm số $y = 9^{x}$ là

A. $ℝ \ \{0\} .$

B. $[0; + \infty) .$

C. $(0; + \infty) .$

C. $ℝ .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(1;-1;2), B(2;-1;1), C(1;1;2), D(3;3;-6). Điểm M(a;b;c) di động trên mặt phẳng (Oxy). Khi biểu thức $P = 6 M A^{2} + 4 M B^{2} - 8 M C^{2} + M D^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất thì tổng a + b + c bằng

A. -3

B. 8

C. -2

D. 1

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1;2] và f(1) + f(2) = 0. Biết ∫12(f(x))2 dx=12,∫12f'(x)cos(πx)dx=π2 . Tính ∫12f(x)dx .

Từ một hộp chứa 12 quả bóng gồm 5 quả màu đỏ và 7 quả màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả. Xác suất để lấy được 3 quả màu đỏ bằng

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;3;0) và B(5;1;-2). Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình

Tập nghiệm của bất phương trình 3x≥5 là

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng P:2x+y−z+3=0 . Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của ?

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng a5 . Góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy bằng

Tập xác định của hàm số y=9x là

Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(1;-1;2), B(2;-1;1), C(1;1;2), D(3;3;-6). Điểm M(a;b;c) di động trên mặt phẳng (Oxy). Khi biểu thứcP=6MA2+4MB2−8MC2+MD2 đạt giá trị nhỏ nhất thì tổng a + b + c bằng

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1;2] và f(1) + f(2) = 0. Biết $\int_{1}^{2} (f (x))^{2} d x = \frac{1}{2}, \int_{1}^{2} f^{'} (x) \cos (π x) d x = \frac{π}{2}$ . Tính $\int_{1}^{2} f (x) d x$ .

Tập nghiệm của bất phương trình $3^{x} \geq 5$ là

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(P) : 2 x + y - z + 3 = 0$ . Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của ?

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng $a \sqrt{5}$ . Góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy bằng

Tập xác định của hàm số $y = 9^{x}$ là

Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(1;-1;2), B(2;-1;1), C(1;1;2), D(3;3;-6). Điểm M(a;b;c) di động trên mặt phẳng (Oxy). Khi biểu thức $P = 6 M A^{2} + 4 M B^{2} - 8 M C^{2} + M D^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất thì tổng a + b + c bằng