Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn ab + bc + ca = 3abc. Chứng minh rằng: aa2+bc+bb2+ca+cc2+ab≤32

Từ điều kiện đề bài ta có: ab+bc+caabc=3⇔1a+1b+1c=3 Áp dụng hai lần bất đẳng thức Côsi cho hai số dương, ta có: a2+bc≥2a2.bc=2abc ⇒ aa2+bc≤a2abc=12bc 1b.1c≤121b+1c ⇒ aa2+bc≤141b+1c Tương tự ta có: bb2+ac≤141a+1ccc2+ab≤141a+1b Suy ra: aa2+bc+bb2+ca+cc2+ab≤121a+1b+1c=32.

Câu hỏi:

12/07/2024 767

Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn ab + bc + ca = 3abc.
Chứng minh rằng: $\frac{a}{a^{2} + b c} + \frac{b}{b^{2} + c a} + \frac{c}{c^{2} + a b} \leq \frac{3}{2}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Sách mới 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 49k/cuốn).

Đề toán-lý-hóa Đề văn-sử-địa Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Từ điều kiện đề bài ta có: $\frac{a b + b c + c a}{a b c} = 3 \Leftrightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 3$

Áp dụng hai lần bất đẳng thức Côsi cho hai số dương, ta có:

$a^{2} + b c \geq 2 \sqrt{a^{2} . b c} = 2 a \sqrt{b c}$

⇒ $\frac{a}{a^{2} + b c} \leq \frac{a}{2 a \sqrt{b c}} = \frac{1}{2 \sqrt{b c}}$

$\frac{1}{\sqrt{b}} . \frac{1}{\sqrt{c}} \leq \frac{1}{2} (\frac{1}{b} + \frac{1}{c})$ ⇒ $\frac{a}{a^{2} + b c} \leq \frac{1}{4} (\frac{1}{b} + \frac{1}{c})$

Tương tự ta có:

$\frac{b}{b^{2} + a c} \leq \frac{1}{4} (\frac{1}{a} + \frac{1}{c}) \frac{c}{c^{2} + a b} \leq \frac{1}{4} (\frac{1}{a} + \frac{1}{b})$

Suy ra: $\frac{a}{a^{2} + b c} + \frac{b}{b^{2} + c a} + \frac{c}{c^{2} + a b} \leq \frac{1}{2} (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) = \frac{3}{2}$ .

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho hình chóp S.ABCD. M là một điểm trên cạnh SC.

a) Tìm giao điểm của AM và (SBD).

b) Gọi N là một điểm trên cạnh BC. Tìm giao điểm của SD và (AMN).

Xem đáp án » 12/07/2024 31,791

Câu 2:

Cho hình 20 biết a // AB, b // AB và $\hat{M A N} = 100 °$ . Tính $\hat{N_{1}}$ .

Xem đáp án » 12/07/2024 7,641

Câu 3:

Cho tam giác nhọn ABC. Chứng minh $S_{A B C} = \frac{1}{2} . B C . B A . \sin \hat{B} = \frac{1}{2} . A B . A C . \sin \hat{A} = \frac{1}{2} . C A . C B . \sin \hat{C}$ .

Xem đáp án » 12/07/2024 7,479

Câu 4:

cho các tập hợp A = (2; +∞) và B =[m² - 7; +∞) với m > 0. Tìm m để A\B là một khoảng có độ dài bằng 16.

Xem đáp án » 12/07/2024 7,270

Câu 5:

Cho chóp S.ABCD. M, N lần lượt là trung điểm của SB, SD. Tìm giao điểm của (AMN) và SC.

Xem đáp án » 11/07/2024 6,702

Câu 6:

Cho hình bình hành ABCD có $\hat{B A D} = 60 °$ ; AD = 2AB. Gọi M là trung điểm của BC, N là trung điểm của AD.

a) MCND là hình thoi.

b) ABMD là hình thang cân.

Xem đáp án » 12/07/2024 5,904

Câu 7:

Cho Hình 21. Biết x // z, y // z và góc $\hat{C A D} = 120 °$ .

a) Tính góc $\hat{D A z}$ .

b) Tính góc $\hat{C_{1}}$ .

Xem đáp án » 12/07/2024 5,626

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Hỏi bài tập

🔥 Đề thi HOT:

Đăng ký gói thi VIP