Cho tam giác ABC và điểm M nằm trong tam giác. Các đường thẳng AM, BM, CM cắt cạnh đối diện của tam giác ABC tại D, E, F. Chứng minh $\frac{AM}{AD}+\frac{BM}{BE}+\frac{CM}{CF}=2$.

Cho tứ diện ABCD. trên AC và AD lấy 2 điểm MN sao cho MN không song song với CD. Gọi O là điểm bên trong tam giác BCD.

a) Tìm giao tuyến của (OMN) và (BCD).

b) Tìm giao điểm của BC với (OMN).

c) Tìm giao điểm của BD với (OMN).

Cho tam giác ABC, D là trung điểm AB, E là trung điểm AC. Vẽ F sao cho E là trung điểm DF. Chứng minh:

a) DB = CF.

b) ∆BDC = ∆FCD.

c) DE // BC và $DE=\frac{1}{2}BC$.

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Biết BH = 4 cm, CH = 9cm. a) Tính AH, AB, AC?

b) Gọi M là trung điểm của AC. Tính góc $\widehat{BMC}$.

Cho tam giác đều ABC cạnh 2a, G là trọng tâm. Khi đó độ dài $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{GC}$ bằng?

Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ AH vuông góc với BC:

a) Chứng minh: AB² + CH² = AC² + BH².

b) Trên AB lấy E, trên AC lấy điểm F. Chứng minh: EF < BC.

c) Biết AB = 6cm; AC = 8cm. Tính AH, BH, CH.

Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AD. Gọi M là một điểm trên cạnh AC sao cho $AM=\frac{1}{2}MC$. Gọi O là giao điểm của BM và AD. Chứng minh rằng:

a, O là trung điểm của AD.

b, $OM=\frac{1}{4}BM$.

Cho tứ giác lồi ABCD với hai cặp cạnh đối không song song và điểm S không nằm trong mặt phẳng chứa tứ giác. Tìm giao tuyến của các mặt phẳng (SAB) và (SCD); (SAC) và (SBD); (SAD) và (SBC).