Cho tam giác ABC, các điểm H, G, O lần lượt là trực tâm, trọng tâm, giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BC và AC. Chứng minh:

a) $\Delta OMN\backsim \Delta HAB.$

b) $\Delta GOM\backsim \Delta GHA.$

c) Ba điểm O, G, H thẳng hàng và GH = 2OG.

a) Vì O là giao điểm ba đường trung trực nên $OM\perp AB.$

Lại có $AH\perp BC$ (H là trực tâm) nên AH // OM.

Tương tự, BH // ON.

Do đó $\widehat{MON}=\widehat{AHB}$ (hai góc tạo bởi hai đường thẳng song song)

Xét tam giác BAC có M, N lần lượt là trung điểm của BC và AC.

Do đó MN là đường trung bình của tam giác ABC nên $MN\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}AB,$ $MN=\frac{1}{2}AB.$

Suy ra $\widehat{OMN}=\widehat{HAB}$ (hai góc tạo bởi hai đường thẳng song song)

Xét $\Delta OMN$ và $\Delta HAB$ có:

$\widehat{MON}=\widehat{AHB}$ và $\widehat{OMN}=\widehat{HAB}$ 

Do đó $\Delta OMN\backsim \Delta HAB$ (g.g).

b) Vì $\Delta OMN\backsim \Delta HAB$ (câu a) nên $\frac{OM}{HA}=\frac{NO}{HB}=\frac{MN}{AB}=\frac{1}{2}$ (tỉ số cạnh tương ứng) (1)

Vì G là trọng tâm của $\Delta ABC,$ AM là trung tuyến nên $\frac{AG}{GM}=\mathrm{2,}$ hay $\frac{GM}{AG}=\frac{1}{2}$  (2)

Từ (1); (2) suy ra $\frac{GM}{AG}=\frac{OM}{AH}.$

Xét $\Delta GOM$ và $\Delta GHA$ có:

$\frac{GM}{AG}=\frac{OM}{AH}$ và $\widehat{OMG}=\widehat{HAG}$ (so le trong của $AH\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}OM)$

Do đó $\Delta GOM\backsim \Delta GHA$ (c.g.c).

c) Vì $\Delta GOM\backsim \Delta GHA$ (câu b) nên $\widehat{OGM}=\widehat{HGA}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\widehat{HGM}+\widehat{HGA}=180°$ (kề bù) nên $\widehat{HGM}+\widehat{OGM}=180°.$ 

Do đó 3 điểm O; G; H thẳng hàng.

Mặt khác, $\Delta GOM\backsim \Delta GHA$ nên $\frac{GO}{GH}=\frac{GM}{GA}=\frac{1}{2},$ suy ra $GH=2GO.$