Một xe đạp khởi hành từ điểm A, chạy với vận tốc 15 km/h. Sau đó 6 giờ, một xe hơi đuổi theo với vận tốc 60 km/h. Khi đó, xe hơi chạy trong bao lâu thì đuổi kịp xe đạp? 

Ta có SE  là trung đoạn nên E  là trung điểm của AB .

Xét $\Delta ABD$  có E, H  lần lượt là trung điểm của AB, BD .   

Suy ra EH  là đường trung bình của $\Delta ABD$  nên $EH=\frac{1}{2}AD=5(\text{cm)}$ .

Áp dụng định lí Pythagore $\Delta SEH$  vuông tại H  có: $S{E}^2=S{H}^2+E{H}^2$  

Suy ra $S{H}^2=S{E}^2-E{H^2}^2={13}^2-5^2$

Do đó $SH=12\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}cm}$ .

Vậy chiều cao của hộp quà là 12 cm.

Do đó  $AE=\frac{AC\cdot AD}{AB}=\frac{5\cdot 2}{4}=\mathrm{2,5}\left(\text{cm}\right).$

Vậy AE = 2,5 cm

c) Từ câu a: $\Delta ABD\backsim \Delta ACE$  suy ra $\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$  hay $\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$ .

Xét $\Delta ADE$  và $\Delta ABC$  có:

$\widehat{DAE}=\widehat{BAC}$; $\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$  (cmt)

Do đó $\Delta ADE\backsim \Delta ABC\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(c.g.c)}$

Suy ra $\widehat{ADE}=\widehat{ABC}$  (hai góc tương ứng) (1)

Mặt khác, ta có:

• $\widehat{ADE}+\widehat{EDH}=\widehat{ADB}=90°$  (2)

• $\widehat{ABC}+\widehat{BCH}=180°-\widehat{BEC}=180°-90°=90°$  (3)

Từ (1), (2) và (3) nên suy ra $\widehat{EDH}=\widehat{BCH}.$

a) $A=\left[\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{2}{a+b}\cdot \left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\right]\cdot \frac{ab}{{\left(a+b\right)}^2}$

$=\left[\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{2}{ab}\right]\cdot \frac{ab}{{\left(a+b\right)}^2}$$=\frac{a^2+b^2+2ab}{a^2{b}^2}\cdot \frac{ab}{{\left(a+b\right)}^2}$

$=\frac{{\left(a+b\right)}^2}{a^2{b}^2}\cdot \frac{ab}{{\left(a+b\right)}^2}=\frac{1}{ab}.$

b) $B=\left[\frac{1}{{\left(2x-y\right)}^2}+\frac{2}{4x^2-y^2}+\frac{1}{{\left(2x+y\right)}^2}\right]\cdot \frac{4x^2+4xy+y^2}{16x}$

$=\left[\frac{1}{{\left(2x-y\right)}^2}+\frac{2}{\left(2x+y\right)\left(2x-y\right)}+\frac{1}{{\left(2x+y\right)}^2}\right]\cdot \frac{{\left(2x+y\right)}^2}{16x}$

$=\frac{{\left(2x-y\right)}^2+2\left(2x+y\right)\left(2x-y\right)+{\left(2x+y\right)}^2}{{\left(2x+y\right)}^2{\left(2x-y\right)}^2}\cdot \frac{{\left(2x+y\right)}^2}{16x}$

$=\frac{{\left[\left(2x-y\right)+\left(2x+y\right)\right]}^2}{{\left(2x-y\right)}^2}\cdot \frac{1}{16x}$$=\frac{16x^2}{16x\cdot {\left(2x-y\right)}^2}=\frac{x}{{\left(2x-y\right)}^2}$