Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và các đường cao AF, BD, CE cắt nhau tại H 1) Chứng minh rằng DAH^=DEH^. 2) Gọi O và M lần lượt là trung điểm của BC và AH. Chứng minh rằng tứ giác MDOE nội tiếp. 3) G...

a) Vì BD, CE là đường cao nên BDA^=CEA^=90°. Tứ giác ADHE có HDA^+HEA^=90°+90°=180° Nên ADHE nội tiếp đường tròn, suy ra DAH^=DEH^ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HE Vậy DAH^=DEH^. 2) Tam giác ADE vuông tại D có DM là trung tuyến (là trung điểm AH), suy ra MD=MA=MH=AH2. Tương tự ME=MA=MH=AH2. Suy ra MD = MA = MH = ME nên tam giác MAD cân tại M suy ra MDA^=MAD^. Tương tự ODC^=OCD^. Do đó: MDA^+ODC^=MAD^+OCD^=90°. Suy ra MDO^=90°. Tương tự, ta chứng minh được MEO^=90°. Tứ giác MDOE có MDO^+MEO^=90°+90°=180° nên tứ giác MDOE nội tiếp đường tròn. 3) Ta có AH2=2Mπ⋅AF+HF ⇔AH2−2MK⋅AH+HF+HF (1)⇔4MH2−2MK⋅2HM+2HF⇔MH2−MK⋅HM+MK⋅HF⇔MH2−MK⋅HM−MK⋅HF⇔MH⋅MH−MK=MK⋅HF⇔MH⋅HK=MK⋅HF ΔDKM∽ ΔFDM suy ra MKMD=DKDH(2) Vì (2) được chứng minh nên (1) được chứng minh.

Câu hỏi:

13/07/2024 3,888

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và các đường cao AF, BD, CE cắt nhau tại H

1) Chứng minh rằng $\hat{D A H} = \hat{D E H} .$

2) Gọi O và M lần lượt là trung điểm của BC và AH. Chứng minh rằng tứ giác MDOE nội tiếp.

3) Gọi K là giao điểm của AH và DE. Chứng minh rằng: AH² = 2MK.(AF + HF)

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Ôn thi Cấp tốc 789+ vào 10 môn Toán (Đề 5) !!

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).

Tổng ôn toán Tổng ôn lý Các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và các đường cao AF, BD, CE cắt nhau tại H 1) Chứng minh rằng góc dah = góc deh (ảnh 1)

a) Vì BD, CE là đường cao nên $\hat{B D A} = \hat{C E A} = 90 ° .$

Tứ giác ADHE có

$\hat{H D A} + \hat{H E A} = 90 ° + 90 ° = 180 °$

Nên ADHE nội tiếp đường tròn, suy ra $\hat{D A H} = \hat{D E H}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HE

Vậy

\hat{D A H} = \hat{D E H} .

2) Tam giác ADE vuông tại D có DM là trung tuyến (là trung điểm AH), suy ra $M D = M A = M H = \frac{A H}{2} .$

Tương tự $M E = M A = M H = \frac{A H}{2} .$

Suy ra MD = MA = MH = ME nên tam giác MAD cân tại M suy ra $\hat{M D A} = \hat{M A D} .$

Tương tự $\hat{O D C} = \hat{O C D} .$ Do đó: $\hat{M D A} + \hat{O D C} = \hat{M A D} + \hat{O C D} = 90 ° .$ Suy ra $\hat{M D O} = 90 ° .$

Tương tự, ta chứng minh được $\hat{M E O} = 90 ° .$

Tứ giác MDOE có $\hat{M D O} + \hat{M E O} = 90 ° + 90 ° = 180 °$ nên tứ giác MDOE nội tiếp đường tròn.

3) Ta có $A H^{2} = 2 M π \cdot (A F + H F)$

$\Leftrightarrow A H^{2} - 2 M K \cdot (A H + H F + H F) (1) \Leftrightarrow 4 M H^{2} - 2 M K \cdot (2 H M + 2 H F) \Leftrightarrow M H^{2} - M K \cdot H M + M K \cdot H F \Leftrightarrow M H^{2} - M K \cdot H M - M K \cdot H F \Leftrightarrow M H \cdot (M H - M K) = M K \cdot H F \Leftrightarrow M H \cdot H K = M K \cdot H F$

$Δ D K M ∽ Δ F D M$ suy ra $\frac{M K}{M D} = \frac{D K}{D H} (2)$

Vì (2) được chứng minh nên (1) được chứng minh.

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Một đội công nhân phải trồng 96 cây xanh. Đội dự định chia đều số cây cho mỗi công nhân nhưng khi chuẩn bị trồng thì có 4 công nhân được điều đi làm việc khác nên mỗi công nhân còn lại phải trồng thêm 4 cây. Hỏi lúc đầu đợi công nhân có bao nhiêu người?

Xem đáp án » 13/07/2024 3,315

Câu 2:

Rút gọn biểu thức: $A = \sqrt{x} \cdot (\frac{1}{x - \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1}) : \frac{\sqrt{x} + 1}{x - 2 \sqrt{x} + 1}$ với $x > 0, x \neq 1.$

Xem đáp án » 13/07/2024 2,016

Câu 3:

Cho đường thẳng (d): y = ax + b. Tìm a và b để đường thẳng (d) song song với đường thẳng (d'): y = 5x + 3 và đi qua điểm A(1;3)

Xem đáp án » 13/07/2024 1,693

Câu 4:

Giải hệ phương trình: $\{\begin{cases} 3 x + y = 5 \\ 2 x + 5 y = 12 \end{cases} .$

Xem đáp án » 13/07/2024 1,643

Câu 5:

Cho parabol $(P) : y = x^{2}$ và đường thẳng $(d) : y = 3 x + m .$ Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $x_{1} + 2 x_{2} = m + 3.$

Xem đáp án » 13/07/2024 1,321

Câu 6:

Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$a^{2} + b^{2} + 2 a b c + c^{2} + 1 \geq 2 (a b + a c + b c) .$

Xem đáp án » 13/07/2024 1,282

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Đăng ký gói thi VIP

vip1 + 1 tháng ( 99,000 VNĐ )

VIP 1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip2 + 3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP 2 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip3 + 6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP 3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip4 + 12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP 4 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

ĐỀ THI LIÊN QUAN

Trắc nghiệm Toán 9 (Có đáp án): Căn thức bậc hai

2 đề 44,856 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Toán 9 Bài 1 (có đáp án): Căn bậc hai

2 đề 12,893 lượt thi Thi thử
Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2021 có đáp án (Phần 1)

31 đề 12,314 lượt thi Thi thử
Đề kiểm tra giữa học kì 2 môn Toán 9 có đáp án (Mới nhất)

41 đề 11,590 lượt thi Thi thử
Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2019 có đáp án (Phần 1)

31 đề 10,755 lượt thi Thi thử
Bộ 30 đề thi vào 10 môn Toán có lời giải chi tiết

29 đề 10,119 lượt thi Thi thử
Đề kiểm tra 15 phút Toán 9 Chương 1 Đại Số (có đáp án)

7 đề 9,292 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Chuyên đề toán 9 Chuyên đề 5: Các bài toán thực tế giải bằng cách lập phương trình và hệ phương trình có đáp án

10 đề 8,549 lượt thi Thi thử
Đề thi Học kì 1 Toán 9 có đáp án năm 2022-2023

31 đề 8,453 lượt thi Thi thử
Đề thi Học kì 2 Toán 9 chọn lọc, có đáp án

17 đề 8,399 lượt thi Thi thử

Xem thêm »

Hỏi bài tập

Nhà sách VIETJACK:

Rút gọn biểu thức: A=x⋅1x−x+1x−1:x+1x−2x+1 với x>0, x≠1.

Cho đường thẳng (d): y = ax + b. Tìm a và b để đường thẳng (d) song song với đường thẳng (d'): y = 5x + 3 và đi qua điểm A(1;3)

Giải hệ phương trình: 3x+y=52x+5y=12.

Cho parabol P:y=x2 và đường thẳng d:y=3x+m. Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thỏa mãn x1+2x2=m+3.

Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: a2+b2+2abc+c2+1≥2ab+ac+bc.

Bình luận

vip1 + 1 tháng ( 99,000 VNĐ )

vip2 + 3 tháng ( 199,000 VNĐ )

vip3 + 6 tháng ( 299,000 VNĐ )

vip4 + 12 tháng ( 499,000 VNĐ )

ĐỀ THI LIÊN QUAN

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Rút gọn biểu thức: $A = \sqrt{x} \cdot (\frac{1}{x - \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1}) : \frac{\sqrt{x} + 1}{x - 2 \sqrt{x} + 1}$ với $x > 0, x \neq 1.$

Giải hệ phương trình: $\{\begin{cases} 3 x + y = 5 \\ 2 x + 5 y = 12 \end{cases} .$

Cho parabol $(P) : y = x^{2}$ và đường thẳng $(d) : y = 3 x + m .$ Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $x_{1} + 2 x_{2} = m + 3.$

Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$a^{2} + b^{2} + 2 a b c + c^{2} + 1 \geq 2 (a b + a c + b c) .$