Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và các đường cao AF, BD, CE cắt nhau tại H

1) Chứng minh rằng $\widehat{DAH}=\widehat{DEH}.$

2) Gọi O và M lần lượt là trung điểm của BC và AH. Chứng minh rằng tứ giác MDOE nội tiếp.

3) Gọi K là giao điểm của AH và DE. Chứng minh rằng: AH² = 2MK.(AF + HF)

Gọi x (người) là số công nhân lúc đầu của đội $\left(x>4,x\in \mathbb{N}\right).$

Số công nhân làm việc thực tế là x - 4 (người).

Số cây xanh mỗi công nhân trồng theo dự định là $\frac{96}{x}$ (cây).

Số cây xanh mỗi công nhân trồng theo thực tế là $\frac{96}{x-4}$ (cây).

Do mỗi công nhân còn lại phải trồng thêm 4 cây nên ta có phương trình:

$$\begin{gathered} \frac{96}{x-4}-\frac{96}{x}=4 \\ \iff \frac{1}{x-4}-\frac{1}{x}=\frac{1}{24}\iff \frac{x-\left(x-4\right)}{x\left(x-4\right)}=\frac{1}{24} \\ \iff \frac{{\displaystyle 4}}{{\displaystyle x^2-4x}}=\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 24}}\Rightarrow x^2-4x-96=0 \\ \iff \left(x+8\right)\left(x-12\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=-8\\ x=12\end{array}\right.. \end{gathered}$$

Đối chiều điều kiện và thử lại ta thấy x = 12 thỏa mãn.

Vậy số công nhân lúc đầu của đội là 12 người.

Với $x>0,x\ne 1,$ ta có:

$$\begin{gathered} A=\sqrt{x}\left(\frac{1}{x-\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}-1}\right):\frac{\sqrt{x}+1}{x-2\sqrt{x}+1} \\ =\sqrt{x}\left[\frac{1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}+\frac{1}{\sqrt{x}-1}\right]:\frac{\sqrt{x}+1}{{\left(\sqrt{x}-1\right)}^2} \\ =\sqrt{x}\cdot \frac{1+\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}:\frac{\sqrt{x}+1}{{\left(\sqrt{x}-1\right)}^2} \\ =\frac{1+\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\cdot \frac{{\left(\sqrt{x}-1\right)}^2}{\sqrt{x}+1} \\ =\sqrt{x}-1 \end{gathered}$$