Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và các đường cao AF, BD, CE cắt nhau tại H 1) Chứng minh rằng DAH^=DEH^. 2) Gọi O và M lần lượt là trung điểm của BC và AH. Chứng minh rằng tứ giác MDOE nội tiếp. 3) G...

a) Vì BD, CE là đường cao nên BDA^=CEA^=90°. Tứ giác ADHE có HDA^+HEA^=90°+90°=180° Nên ADHE nội tiếp đường tròn, suy ra DAH^=DEH^ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HE Vậy DAH^=DEH^. 2) Tam giác ADE vuông tại D có DM là trung tuyến (là trung điểm AH), suy ra MD=MA=MH=AH2. Tương tự ME=MA=MH=AH2. Suy ra MD = MA = MH = ME nên tam giác MAD cân tại M suy ra MDA^=MAD^. Tương tự ODC^=OCD^. Do đó: MDA^+ODC^=MAD^+OCD^=90°. Suy ra MDO^=90°. Tương tự, ta chứng minh được MEO^=90°. Tứ giác MDOE có MDO^+MEO^=90°+90°=180° nên tứ giác MDOE nội tiếp đường tròn. 3) Ta có AH2=2Mπ⋅AF+HF ⇔AH2−2MK⋅AH+HF+HF (1)⇔4MH2−2MK⋅2HM+2HF⇔MH2−MK⋅HM+MK⋅HF⇔MH2−MK⋅HM−MK⋅HF⇔MH⋅MH−MK=MK⋅HF⇔MH⋅HK=MK⋅HF ΔDKM∽ ΔFDM suy ra MKMD=DKDH(2) Vì (2) được chứng minh nên (1) được chứng minh.

Câu hỏi:

13/07/2024 6,107

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và các đường cao AF, BD, CE cắt nhau tại H

1) Chứng minh rằng $\hat{D A H} = \hat{D E H} .$

2) Gọi O và M lần lượt là trung điểm của BC và AH. Chứng minh rằng tứ giác MDOE nội tiếp.

3) Gọi K là giao điểm của AH và DE. Chứng minh rằng: AH² = 2MK.(AF + HF)

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Ôn thi Cấp tốc 789+ vào 10 môn Toán (Đề 5) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và các đường cao AF, BD, CE cắt nhau tại H 1) Chứng minh rằng góc dah = góc deh (ảnh 1)

a) Vì BD, CE là đường cao nên $\hat{B D A} = \hat{C E A} = 90 ° .$

Tứ giác ADHE có

$\hat{H D A} + \hat{H E A} = 90 ° + 90 ° = 180 °$

Nên ADHE nội tiếp đường tròn, suy ra $\hat{D A H} = \hat{D E H}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HE

Vậy

\hat{D A H} = \hat{D E H} .

2) Tam giác ADE vuông tại D có DM là trung tuyến (là trung điểm AH), suy ra $M D = M A = M H = \frac{A H}{2} .$

Tương tự $M E = M A = M H = \frac{A H}{2} .$

Suy ra MD = MA = MH = ME nên tam giác MAD cân tại M suy ra $\hat{M D A} = \hat{M A D} .$

Tương tự $\hat{O D C} = \hat{O C D} .$ Do đó: $\hat{M D A} + \hat{O D C} = \hat{M A D} + \hat{O C D} = 90 ° .$ Suy ra $\hat{M D O} = 90 ° .$

Tương tự, ta chứng minh được $\hat{M E O} = 90 ° .$

Tứ giác MDOE có $\hat{M D O} + \hat{M E O} = 90 ° + 90 ° = 180 °$ nên tứ giác MDOE nội tiếp đường tròn.

3) Ta có $A H^{2} = 2 M π \cdot (A F + H F)$

$\Leftrightarrow A H^{2} - 2 M K \cdot (A H + H F + H F) (1) \Leftrightarrow 4 M H^{2} - 2 M K \cdot (2 H M + 2 H F) \Leftrightarrow M H^{2} - M K \cdot H M + M K \cdot H F \Leftrightarrow M H^{2} - M K \cdot H M - M K \cdot H F \Leftrightarrow M H \cdot (M H - M K) = M K \cdot H F \Leftrightarrow M H \cdot H K = M K \cdot H F$

$Δ D K M ∽ Δ F D M$ suy ra $\frac{M K}{M D} = \frac{D K}{D H} (2)$

Vì (2) được chứng minh nên (1) được chứng minh.

Nhà sách vietjack

Xem thêm kho sách »

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Một đội công nhân phải trồng 96 cây xanh. Đội dự định chia đều số cây cho mỗi công nhân nhưng khi chuẩn bị trồng thì có 4 công nhân được điều đi làm việc khác nên mỗi công nhân còn lại phải trồng thêm 4 cây. Hỏi lúc đầu đợi công nhân có bao nhiêu người?

Xem đáp án » 13/07/2024 4,994

Câu 2:

Rút gọn biểu thức: $A = \sqrt{x} \cdot (\frac{1}{x - \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1}) : \frac{\sqrt{x} + 1}{x - 2 \sqrt{x} + 1}$ với $x > 0, x \neq 1.$

Xem đáp án » 13/07/2024 3,284

Câu 3:

Cho đường thẳng (d): y = ax + b. Tìm a và b để đường thẳng (d) song song với đường thẳng (d'): y = 5x + 3 và đi qua điểm A(1;3)

Xem đáp án » 13/07/2024 3,079

Câu 4:

Cho parabol $(P) : y = x^{2}$ và đường thẳng $(d) : y = 3 x + m .$ Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $x_{1} + 2 x_{2} = m + 3.$

Xem đáp án » 13/07/2024 2,880

Câu 5:

Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$a^{2} + b^{2} + 2 a b c + c^{2} + 1 \geq 2 (a b + a c + b c) .$

Xem đáp án » 13/07/2024 2,321

Câu 6:

Giải hệ phương trình: $\{\begin{cases} 3 x + y = 5 \\ 2 x + 5 y = 12 \end{cases} .$

Xem đáp án » 13/07/2024 2,045

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Bình luận

Rút gọn biểu thức: A=x⋅1x−x+1x−1:x+1x−2x+1 với x>0, x≠1.

Cho đường thẳng (d): y = ax + b. Tìm a và b để đường thẳng (d) song song với đường thẳng (d'): y = 5x + 3 và đi qua điểm A(1;3)

Cho parabol P:y=x2 và đường thẳng d:y=3x+m. Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thỏa mãn x1+2x2=m+3.

Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: a2+b2+2abc+c2+1≥2ab+ac+bc.

Giải hệ phương trình: 3x+y=52x+5y=12.

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Rút gọn biểu thức: $A = \sqrt{x} \cdot (\frac{1}{x - \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1}) : \frac{\sqrt{x} + 1}{x - 2 \sqrt{x} + 1}$ với $x > 0, x \neq 1.$

Cho parabol $(P) : y = x^{2}$ và đường thẳng $(d) : y = 3 x + m .$ Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $x_{1} + 2 x_{2} = m + 3.$

Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$a^{2} + b^{2} + 2 a b c + c^{2} + 1 \geq 2 (a b + a c + b c) .$

Giải hệ phương trình: $\{\begin{cases} 3 x + y = 5 \\ 2 x + 5 y = 12 \end{cases} .$