Câu hỏi:

13/07/2024 4,396

Cho tam giác ABC vuông tại A, trên cạnh AB lấy điểm M (M khác A, M khác B). Từ điểm M vẽ đường thẳng MN vuông góc với BC (N thuộc BC), đường thẳng MN cắt đường thẳng AC tại K.

1) Chứng minh tứ giác AMNC nội tiếp.

2) Chứng minh $\hat{A B K} = \hat{A C M} .$

3) Đoạn thẳng BKcắt đường tròn đường kính BM tại điểm D (D khác B). Gọi I là tâm và r là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác BKC. Chứng minh $\frac{1}{r} = \frac{1}{K N} + \frac{1}{C D} + \frac{1}{A B} \cdot$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Ôn thi Cấp tốc 789+ vào 10 môn Toán (Đề 8) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho tam giác ABC vuông tại A, trên cạnh AB lấy điểm M (M khác A, M khác B). Từ điểm M vẽ đường thẳng MN vuông góc với BC (N thuộc BC), đường thẳng MN cắt đường thẳng AC tại K. (ảnh 1)

1) Xét tứ giác AMNC có

$\hat{C A M} = \hat{C A B} = 90 °$ ( $Δ A B C$ vuông tại $A, M \in A B$ ).

$\hat{C N M} = 90 °$ ( $M N ⊥ B C$ ).

Suy ra $\hat{C A M} + \hat{C N M} = 90 ° + 90 ° = 180 °$ .

Vậy tứ giác AMNC nội tiếp (tổng hai góc đối bằng 180^o ).

Xét ANBK có

$\hat{K A B} = 90 °$ (kề bù với góc vuông CAB).

$\hat{K N B} = \hat{M N B} = 90 °$ (MN vuông góc BC, K thuộc đường thẳng MN).

Suy ra $\hat{K A B} = \hat{K N B} = 90 ° .$

Do đó tứ giác ANBK nội tiếp (hai đỉnh A, N kề nhau cùng nhìn cạnh BK dưới một góc bằng 90^o )

Suy ra $\hat{A B K} = \hat{A N K}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AK) (1)

Vì tứ giác AMNC nội tiếp (chứng minh câu 5.1)

nên $\hat{A N M} = \hat{A C M}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AM).

hay $\hat{A N K} = \hat{A C M}$ (K thuộc đường thẳng MN) (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\hat{A B K} = \hat{A C M} .$

Xét $Δ B C K$ có BA là đường cao, KN là đường cao, M là giao điểm của BA và K

Suy ra M là trực tâm của $Δ B C K .$

Do đó $C M ⊥ B K$ (1)

Xét đường tròn đường kính BM có $\hat{M D B} = 90 °$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Suy ra $M D ⊥ B K$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra ba điểm C, M, D thẳng hàng. Do đó

C D ⊥ B K .

Diện tích $Δ B I C$ là $S_{B I C} = \frac{1}{2} . r . B C$ .

Diện tích $Δ B I K$ là $S_{B I K} = \frac{1}{2} . r . B K$ .

Diện tích $Δ C I K$ là $S_{C I K} = \frac{1}{2} . r . C K$ .

Diện tích $Δ B C K$ là $S_{B C K} = \frac{1}{2} K N . B C = \frac{1}{2} B K . C D = \frac{1}{2} C K . A B$ .

Suy ra $\frac{1}{2} B C = \frac{S_{B C K}}{K N}; \frac{1}{2} B K = \frac{S_{B C K}}{C D}; \frac{1}{2} C K = \frac{S_{B C K}}{A B}$ .

Mà $S_{B C K} = S_{B I C} + S_{B I K} + S_{C I K}$

Hay $S_{B C K} = r \cdot \frac{S_{B C K}}{K N} + r \cdot \frac{S_{B C K}}{C D} + r \cdot \frac{S_{B C K}}{A B}$

Do đó $S_{B C K} = r . S_{B C K} (\frac{1}{K N} + \frac{1}{C D} + \frac{1}{A B})$

Vậy $\frac{1}{r} = \frac{1}{K N} + \frac{1}{C D} + \frac{1}{A B} \cdot$

Nhà sách vietjack

Xem thêm kho sách »

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Tìm tham số thực m để đồ thị hàm số y = -2x² và đường thẳng y = x - m có điểm chung.

Xem đáp án » 13/07/2024 5,196

Câu 2:

Giải phương trình $x^{2} + 8 x + 15 = 0$

Xem đáp án » 13/07/2024 2,859

Câu 3:

Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn (không có nước) sau 40 phút thì đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 15 phút rồi khóa lại, sau đó mở vòi thứ hai chảy tiếp trong 20 phút thì lúc này lượng nước trong bể chiếm $\frac{5}{12}$ thể tích của bể nước. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì thời gian để mỗi vòi chảy đầy bể là bao lâu?

Xem đáp án » 13/07/2024 2,702

Câu 4:

Cho phương trình 3x² + 5x - 1 = 0 có hai nghiệm x₁ , x₂ . Tính giá trị biểu thức T = 6x₁ - 7x₁x₂ + 6x₂ .

Xem đáp án » 13/07/2024 2,156

Câu 5:

Rút gọn biểu thức $A = \sqrt{{(\sqrt{2} - 1)}^{2}} - \frac{1}{3} \sqrt{18}$

Xem đáp án » 13/07/2024 1,936

Câu 6:

Giải phương trình $x^{4} - 3 x^{2} - 4 = 0$

Xem đáp án » 13/07/2024 1,626

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Bình luận

Tìm tham số thực m để đồ thị hàm số y = -2x2 và đường thẳng y = x - m có điểm chung.

Giải phương trình x2+8x+15=0

Cho phương trình 3x2 + 5x - 1 = 0 có hai nghiệm x1 , x2 . Tính giá trị biểu thức T = 6x1 - 7x1x2 + 6x2 .

Rút gọn biểu thức A=2−12−1318

Giải phương trình x4−3x2−4=0

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Tìm tham số thực m để đồ thị hàm số y = -2x² và đường thẳng y = x - m có điểm chung.

Giải phương trình $x^{2} + 8 x + 15 = 0$

Cho phương trình 3x² + 5x - 1 = 0 có hai nghiệm x₁ , x₂ . Tính giá trị biểu thức T = 6x₁ - 7x₁x₂ + 6x₂ .

Rút gọn biểu thức $A = \sqrt{{(\sqrt{2} - 1)}^{2}} - \frac{1}{3} \sqrt{18}$

Giải phương trình $x^{4} - 3 x^{2} - 4 = 0$