Câu hỏi:

13/07/2024 3,089

Cho tam giác ABC vuông tại A, trên cạnh AB lấy điểm M (M khác A, M khác B). Từ điểm M vẽ đường thẳng MN vuông góc với BC (N thuộc BC), đường thẳng MN cắt đường thẳng AC tại K.

1) Chứng minh tứ giác AMNC nội tiếp.

2) Chứng minh $\hat{A B K} = \hat{A C M} .$

3) Đoạn thẳng BKcắt đường tròn đường kính BM tại điểm D (D khác B). Gọi I là tâm và r là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác BKC. Chứng minh $\frac{1}{r} = \frac{1}{K N} + \frac{1}{C D} + \frac{1}{A B} \cdot$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Ôn thi Cấp tốc 789+ vào 10 môn Toán (Đề 8) !!

Sách mới 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 110k).

20 đề Toán 20 đề Văn Các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho tam giác ABC vuông tại A, trên cạnh AB lấy điểm M (M khác A, M khác B). Từ điểm M vẽ đường thẳng MN vuông góc với BC (N thuộc BC), đường thẳng MN cắt đường thẳng AC tại K. (ảnh 1)

1) Xét tứ giác AMNC có

$\hat{C A M} = \hat{C A B} = 90 °$ ( $Δ A B C$ vuông tại $A, M \in A B$ ).

$\hat{C N M} = 90 °$ ( $M N ⊥ B C$ ).

Suy ra $\hat{C A M} + \hat{C N M} = 90 ° + 90 ° = 180 °$ .

Vậy tứ giác AMNC nội tiếp (tổng hai góc đối bằng 180^o ).

Xét ANBK có

$\hat{K A B} = 90 °$ (kề bù với góc vuông CAB).

$\hat{K N B} = \hat{M N B} = 90 °$ (MN vuông góc BC, K thuộc đường thẳng MN).

Suy ra $\hat{K A B} = \hat{K N B} = 90 ° .$

Do đó tứ giác ANBK nội tiếp (hai đỉnh A, N kề nhau cùng nhìn cạnh BK dưới một góc bằng 90^o )

Suy ra $\hat{A B K} = \hat{A N K}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AK) (1)

Vì tứ giác AMNC nội tiếp (chứng minh câu 5.1)

nên $\hat{A N M} = \hat{A C M}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AM).

hay $\hat{A N K} = \hat{A C M}$ (K thuộc đường thẳng MN) (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\hat{A B K} = \hat{A C M} .$

Xét $Δ B C K$ có BA là đường cao, KN là đường cao, M là giao điểm của BA và K

Suy ra M là trực tâm của $Δ B C K .$

Do đó $C M ⊥ B K$ (1)

Xét đường tròn đường kính BM có $\hat{M D B} = 90 °$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Suy ra $M D ⊥ B K$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra ba điểm C, M, D thẳng hàng. Do đó

C D ⊥ B K .

Diện tích $Δ B I C$ là $S_{B I C} = \frac{1}{2} . r . B C$ .

Diện tích $Δ B I K$ là $S_{B I K} = \frac{1}{2} . r . B K$ .

Diện tích $Δ C I K$ là $S_{C I K} = \frac{1}{2} . r . C K$ .

Diện tích $Δ B C K$ là $S_{B C K} = \frac{1}{2} K N . B C = \frac{1}{2} B K . C D = \frac{1}{2} C K . A B$ .

Suy ra $\frac{1}{2} B C = \frac{S_{B C K}}{K N}; \frac{1}{2} B K = \frac{S_{B C K}}{C D}; \frac{1}{2} C K = \frac{S_{B C K}}{A B}$ .

Mà $S_{B C K} = S_{B I C} + S_{B I K} + S_{C I K}$

Hay $S_{B C K} = r \cdot \frac{S_{B C K}}{K N} + r \cdot \frac{S_{B C K}}{C D} + r \cdot \frac{S_{B C K}}{A B}$

Do đó $S_{B C K} = r . S_{B C K} (\frac{1}{K N} + \frac{1}{C D} + \frac{1}{A B})$

Vậy $\frac{1}{r} = \frac{1}{K N} + \frac{1}{C D} + \frac{1}{A B} \cdot$

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Tìm tham số thực m để đồ thị hàm số y = -2x² và đường thẳng y = x - m có điểm chung.

Xem đáp án » 13/07/2024 4,630

Câu 2:

Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn (không có nước) sau 40 phút thì đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 15 phút rồi khóa lại, sau đó mở vòi thứ hai chảy tiếp trong 20 phút thì lúc này lượng nước trong bể chiếm $\frac{5}{12}$ thể tích của bể nước. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì thời gian để mỗi vòi chảy đầy bể là bao lâu?

Xem đáp án » 13/07/2024 1,793

Câu 3:

Rút gọn biểu thức $A = \sqrt{{(\sqrt{2} - 1)}^{2}} - \frac{1}{3} \sqrt{18}$

Xem đáp án » 13/07/2024 1,684

Câu 4:

Giải phương trình $x^{2} + 8 x + 15 = 0$

Xem đáp án » 13/07/2024 1,673

Câu 5:

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} 2 x + 3 y = 13 \\ x - 3 y = 2 \end{cases}$

Xem đáp án » 13/07/2024 1,207

Câu 6:

Giải phương trình $x^{4} - 3 x^{2} - 4 = 0$

Xem đáp án » 13/07/2024 1,131

Xem thêm các câu hỏi khác »