Bạn Việt muốn dùng tấm bìa hình vuông cạnh 6 dm làm một chiếc hộp không nắp, có đáy là hình vuông bằng cách cắt bỏ đi 4 hình vuông nhỏ ở bốn góc của tấm bìa (Hình 11).

Bạn Việt muốn tìm độ dài cạnh hình vuông cần cắt bỏ để chiếc hộp đạt thể tích lớn nhất.

a) Hãy thiết lập hàm số biểu thị thể tích hộp theo x với x là độ dài cạnh hình vuông cần cắt đi.

Sau bài học này, ta khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số C = C(v).

– Tập xác định: D = (0; 120].

– Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

Ÿ Đạo hàm C'(v) = $-\frac{16000}{v^2}+\frac{5}{2}=\frac{5\left(v-80\right)\left(v+80\right)}{2v^2}$;

C'(v) = 0 ⇔ v = – 80 (loại) hoặc v = 80.

Ÿ Trên khoảng (0; 80), C'(v) < 0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng này.

Ÿ Trên khoảng (80; 120), C'(v) > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng này.

+ Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại v = 80, C_CT = C(80) = 400.

+ Giới hạn vô cực và tiệm cận: $\underset{v\to 0^{+}}{\lim }C\left(v\right)=\underset{v\to 0^{+}}{\lim }\left(\frac{16000}{v}+\frac{5}{2}v\right)=+\infty$ nên đường thẳng v = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

+ Bảng biến thiên:

– Đồ thị:

Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu (80; 400) và đi qua các điểm (40; 500), (100; 410), $\left(120;\frac{1300}{3}\right)$ như hình dưới đây.