Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi \[M,\,\,N\] là hai điểm nắm trên hai cạnh SC, SD sao cho \(\frac{{SM}}{{SC}} = \frac{1}{2},\,\,\frac{{SN}}{{ND}} = 2\), biết \(G\) là trọng tâm tam giác \[SAB.\] Tỉ số thể tích \(\frac{{{V_{G.MND}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \frac{m}{n},\,\,m,\,\,n\) là các số nguyên dương và \(\left( {m,\,\,n} \right) = 1.\) Giá trị của \[m + n\] bằng

Xét trên một thiết diện parabol có chiều cao là \(h\) và độ dài đáy là \[2h\] và chọn hệ trục \[Oxy\] như hình vẽ.

Parabol \(\left( P \right)\) có phương trình \(\left( P \right):y = a{x^2} + h\,\,(a < 0)\)

Đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} - (2m + 1)x + {m^2} - 3}}\) có 1 đường tiệm cận ngang là \(y = 0.\)

Đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + {m^2} - 3}}\) có đúng hai đường tiệm cận

\( \Leftrightarrow \) Đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + {m^2} - 3}}\) có đúng 1 đường tiệm cận đứng

\( \Leftrightarrow \) Phương trình \({x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + {m^2} - 3 = 0\) có một nghiệm kép hoặc phương trình \({x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + {m^2} - 3 = 0\) có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 1.

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\Delta  = 0}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\Delta  > 0}\\{1 - \left( {2m + 1} \right) + {m^2} - 3 = 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {2m + 1} \right)}^2} - 4\left( {{m^2} - 3} \right) = 0}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {2m + 1} \right)}^2} - 4\left( {{m^2} - 3} \right) > 0}\\{{m^2} - 2m - 3 = 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m =  - \frac{{13}}{4}}\\{m = 3}\\{m =  - 1}\end{array}} \right.\).

Vậy có ba giá trị của \(m\) thoả mãn yêu cầu đề bài. Chọn C.