Cho hàm số f(x) = xn (n ∈ ℕ*). a) Chứng minh rằng hàm số Fx=xn+1n+1 là một nguyên hàm của hàm số f(x). Từ đó tìm ∫xndx. b) Từ kết quả câu a, tìm ∫kxndx (k là hằng số thực khác 0).

Câu hỏi:

13/07/2024 765

Cho hàm số f(x) = xⁿ (n ∈ ℕ*).

a) Chứng minh rằng hàm số $F (x) = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ là một nguyên hàm của hàm số f(x). Từ đó tìm $\int x^{n} d x$ .

b) Từ kết quả câu a, tìm $\int k x^{n} d x$ (k là hằng số thực khác 0).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải SGK Toán 12 KNTT Bài 11. Nguyên hàm có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Vì $F'\left( x \right) = {\left( {\frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right)^\prime } = {x^n}$ nên hàm số $F\left( x \right) = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}$ là một nguyên hàm của hàm số f(x).

Ta có $\int {{x^n}} dx = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C$.

b) Ta có $\int {k{x^n}} dx = k\int {{x^n}} dx = k\frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C$.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ mặt đất. Giả sử tại thời điểm t giây (coi t = 0 là thời điểm viên đạn được bắn lên), vận tốc của nó được cho bởi v(t) = 160 – 9,8t (m/s). Tìm độ cao của viên đạn (tính từ mặt đất):

a) Sau t = 5 giây;

b) Khi nó đạt độ cao lớn nhất (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Xem đáp án

Lời giải

Gọi S(t) là độ cao của viên đạn bắn lên từ mặt đất sau t giây kể từ thời điểm đạn được bắn lên.

Khi đó $S\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt = \int {\left( {160 - 9,8t} \right)dt = 160t - 4,9{t^2}} + C} $.

Vì S(0) = 0 nên 160.0 – 4,9.0 + C = 0 Þ C = 0.

Do đó S(t) = −4,9t² + 160 t.

a) Sau 5 giây độ cao của viên đạn là: S(5) = −4,9.5² + 160.5 = 677,5 (m).

b) Có S(t) = −4,9t² + 160 t

= $ - \frac{1}{{10}}\left( {49{t^2} - 2.7t.\frac{{800}}{7} + \frac{{640000}}{{49}}} \right) + \frac{{64000}}{{49}}$

$ - \frac{1}{{10}}{\left( {7t - \frac{{800}}{7}} \right)^2} + \frac{{64000}}{{49}} \le \frac{{64000}}{{49}}$.

Viên đạn đạt độ cao lớn nhất là $\frac{{64000}}{{49}} \approx 1306,1$ m khi $t = \frac{{800}}{{49}}$ giây.

Câu 2

Tìm:

c) $\int {(\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2})}^{2} d x$ ; d) $\int (x + \tan^{2} x) d x$ .

Xem đáp án

Lời giải

c) $\int {{{\left( {\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}} \right)}^2}dx} $$ = \int {\left( {1 - 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}} \right)dx} $$ = \int {dx} - \int {\sin xd} x$$ = x + \cos x + C$.

d) $\int {\left( {x + {{\tan }^2}x} \right)} dx$$ = \int {xdx + \int {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)dx} } $$ = \int {xdx + \int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx - \int {dx} } } $

$ = \frac{{{x^2}}}{2} + \tan x - x + C$.

Câu 3