Doanh thu bán hàng của một công ty khi bán một loại sản phẩn là số tiền R(x) (triệu đồng) thu được khi x đơn vị sản phẩm được bán ra. Tốc độ biến động (thay đổi) của doanh thu khi x đơn vị sản phẩm đã được bán là hàm số M_R(x) = R'(x). Một công ty công nghệ cho biết, tốc độ biến đổi của doanh thu khi bán một loại con chíp của hãng được cho bởi M_R(x) = 300 – 0,1x, ở đó x là số lượng chíp đã bán. Tìm doanh thu của công ty khi đã bán 1000 con chíp.

Gọi S(t) là độ cao của viên đạn bắn lên từ mặt đất sau t giây kể từ thời điểm đạn được bắn lên.

Khi đó \(S\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt = \int {\left( {160 - 9,8t} \right)dt = 160t - 4,9{t^2}} + C} \).

Vì S(0) = 0 nên 160.0 – 4,9.0 + C = 0 Þ C = 0.

Do đó S(t) = −4,9t² + 160 t.

a) Sau 5 giây độ cao của viên đạn là: S(5) = −4,9.5² + 160.5 = 677,5 (m).

b) Có S(t) = −4,9t² + 160 t

= \( - \frac{1}{{10}}\left( {49{t^2} - 2.7t.\frac{{800}}{7} + \frac{{640000}}{{49}}} \right) + \frac{{64000}}{{49}}\)

\( - \frac{1}{{10}}{\left( {7t - \frac{{800}}{7}} \right)^2} + \frac{{64000}}{{49}} \le \frac{{64000}}{{49}}\).

Viên đạn đạt độ cao lớn nhất là \(\frac{{64000}}{{49}} \approx 1306,1\) m khi \(t = \frac{{800}}{{49}}\) giây.

c) \(\int {{{\left( {\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}} \right)}^2}dx} \)\( = \int {\left( {1 - 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}} \right)dx} \)\( = \int {dx} - \int {\sin xd} x\)\( = x + \cos x + C\).

d) \(\int {\left( {x + {{\tan }^2}x} \right)} dx\)\( = \int {xdx + \int {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)dx} } \)\( = \int {xdx + \int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx - \int {dx} } } \)

\( = \frac{{{x^2}}}{2} + \tan x - x + C\).