Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{u}=\left(a;b;c\right)$ và $\overrightarrow{v}=\left(a^{\text{'}};b^{\text{'}};c^{\text{'}}\right)$.

a) Vectơ $\overrightarrow{n}=\left(b{c}^{\text{'}}-b^{\text{'}}c;c{a}^{\text{'}}-c^{\text{'}}a;a{b}^{\text{'}}-a^{\text{'}}b\right)$ có vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ hay không?

b) $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{0}$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ có mối quan hệ gì?

a) Ta có \(\overrightarrow n .\overrightarrow u = \left( {bc' - b'c} \right).a + \left( {ca' - c'a} \right).b + \left( {ab' - a'b} \right).c\)

= bc'a – b'ca + ca'b – c'ab + ab'c – a'bc

= (bc'a – c'ab) + (ab'c – b'ca) + (ca'b – a'bc)

= 0.

Do đó vectơ \(\overrightarrow n \) vuông góc với vectơ \(\overrightarrow u \).

Ta có \(\overrightarrow n .\overrightarrow v = \left( {bc' - b'c} \right).a' + \left( {ca' - c'a} \right).b' + \left( {ab' - a'b} \right).c'\)

= bc'a' – b'ca' + ca'b' – c'ab' + ab'c' – a'bc'

= (bc'a' – c'a'b) + (ab'c' – b'c'a) + (ca'b' – a'b'c)

= 0.

Do đó vectơ \(\overrightarrow n \) vuông góc với vectơ \(\overrightarrow v \).

Suy ra vectơ \(\overrightarrow n \) vuông góc với cả 2 vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \).

b) Nếu \(\overrightarrow n = \overrightarrow 0 \) thì \(\left\{ \begin{array}{l}bc' - b'c = 0\\ca' - c'a = 0\\ab' - a'b = 0\end{array} \right.\) (I).

+) Nếu a = b = c = 0 thì (I) luôn đúng khi đó \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) cùng phương với nhau.

+) Nếu a ≠ 0; b ≠ 0; c ≠ 0 thì (I) ta suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{b'}}{b} = \frac{{c'}}{c}\\\frac{{a'}}{a} = \frac{{c'}}{c}\\\frac{{a'}}{a} = \frac{{b'}}{b}\end{array} \right.\).

Do đó, a' = ka; b' = kb, c' = kc (k ∈ ℝ).

Suy ra \(\overrightarrow v = k\overrightarrow u \). Do đó \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) cùng phương với nhau.

Vậy \(\overrightarrow n = \overrightarrow 0 \) khi và chỉ khi \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) cùng phương.