Bác An dự định làm bốn mái của ngôi nhà sao cho chúng là bốn mặt bên của một hình chóp đều và các mái nhà kề nhau thì vuông góc với nhau. Hỏi ý tưởng trên có thực hiện được không?
Bác An dự định làm bốn mái của ngôi nhà sao cho chúng là bốn mặt bên của một hình chóp đều và các mái nhà kề nhau thì vuông góc với nhau. Hỏi ý tưởng trên có thực hiện được không?

Quảng cáo
Trả lời:

Giả sử mái nhà của ngôi nhà được minh họa như hình vẽ trên.
Ta gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Gọi các cạnh đáy của hình chóp có độ dài là a, các cạnh bên có độ dài là b.
Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên \(OA = OB = OC = OD = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Vì SO là đường cao của tam giác SOC nên \(SO = \sqrt {S{C^2} - O{C^2}} = \sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{2}} = \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} .\)
Khi đó, ta có: O(0; 0; 0), \(A\left( { - \frac{{a\sqrt 2 }}{2};0;0} \right),C\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2};0;0} \right),B\left( {0; - \frac{{a\sqrt 2 }}{2};0} \right),D\left( {0;\frac{{a\sqrt 2 }}{2};0} \right)\) và \(S\left( {0;0;\sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} } \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {SC} = \left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2};0; - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} } \right)\), \(\overrightarrow {DC} = \left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}; - \frac{{a\sqrt 2 }}{2};0} \right)\), \(\overrightarrow {BC} = \left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2};\frac{{a\sqrt 2 }}{2};0} \right)\).
Có \(\left[ {\overrightarrow {SC} ,\frac{{\sqrt 2 }}{a}\overrightarrow {DC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} }\\{ - 1}&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} }&{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}\\0&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}&0\\1&{ - 1}\end{array}} \right|} \right)\)
\( = \left( { - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} ; - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} ; - \frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)\).
\(\left[ {\overrightarrow {SC} ,\frac{{\sqrt 2 }}{a}\overrightarrow {BC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} }\\1&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} }&{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}\\0&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}&0\\1&1\end{array}} \right|} \right)\)
\( = \left( {\sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} ; - \sqrt {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} ;\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)\).
Ta có mặt phẳng (SCD) nhận \(\overrightarrow {{n_1}} = \left[ {\overrightarrow {SC} ,\frac{{\sqrt 2 }}{a}\overrightarrow {DC} } \right]\) làm một vectơ pháp tuyến.
Mặt phẳng (SCB) nhận \(\overrightarrow {{n_2}} = \left[ {\overrightarrow {SC} ,\frac{{\sqrt 2 }}{a}\overrightarrow {BC} } \right]\) làm một vectơ pháp tuyến.
Vì \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = - \left( {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} \right) + \left( {\frac{{2{b^2} - {a^2}}}{2}} \right) - \frac{{{a^2}}}{2} = - \frac{{{a^2}}}{2} \ne 0\).
Do đó hai mặt phẳng (SCD) và (SCB) không vuông góc với nhau.
Do đó ý tưởng trên không thực hiện được.
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
- 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 38.500₫ )
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Gọi mặt phẳng cần tìm là mặt phẳng (P).
Ta có \(\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)\) và \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;2; - 3} \right)\).
Vì (P) // Ox và (P) ^ (Q) nên \(\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow i ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {0;3;2} \right)\).
Mặt phẳng đi qua M(2; 3; −1) và nhận \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {0;3;2} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là: 3(y – 3) + 2(z + 1) = 0 Û 3y + 2z – 7 = 0.
Lời giải

Chọn các điểm như hình vẽ.
Gọi A là hình chiếu của C trên mặt phẳng (P).
Vì CBD là tam giác cân nên CA là đường cao, phân giác, trung tuyến của BD.
Ta có \(CA = d\left( {C,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 2.2 + 2.4 + 3} \right|}}{{\sqrt {1 + {2^2} + {2^2}} }} = \frac{{16}}{3}\).
Vì tam giác CAB vuông tại A, có \(\widehat {ACB} = \frac{{115^\circ }}{2} = 57,5^\circ \).
Suy ra R = AB = CA.tan57,5° ≈ 8,4.
Vậy vùng quan sát được trên mặt phẳng (P) của camera là hình tròn có bán kính bằng 8,4.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.