Trong không gian Oxyz, cho điểm M(x₀; y₀; z₀) và mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\). Gọi N là hình chiếu vuông góc của M trên (P) (H.5.13).

a) Giải thích vì sao tồn tại số k để \(\overrightarrow {MN} = k\overrightarrow n \). Tính tọa độ của N theo k, tọa độ của M và các hệ số A, B, C, D.

b) Thay tọa độ của N vào phương trình mặt phẳng (P) để từ đó tính k theo tọa độ của M và các hệ số A, B, C, D.

c) Từ \(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \left| k \right|\left| {\overrightarrow n } \right|\), hãy tính độ dài của đoạn thẳng MN theo tọa độ của M và các hệ số A, B, C, D. Từ đó suy ra công thức tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải SGK Toán 12 KNTT Bài 14. Phương trình mặt phẳng có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Vì N là hình chiếu vuông góc của M trên (P) nên \(MN \bot (P)\).

Do đó \(\overrightarrow {MN} \) sẽ cùng phương với vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \).

Vậy tồn tại một số k sao cho \(\overrightarrow {MN} = k\overrightarrow n \).

Giả sử N(x₁; y₁; z₁). Suy ra \(\overrightarrow {MN} = \left( {{x_1} - {x_0};{y_1} - {y_0};{z_1} - {z_0}} \right)\).

Vì \(\overrightarrow {MN} = k\overrightarrow n \) nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} - {x_0} = kA\\{y_1} - {y_0} = kB\\{z_1} - {z_0} = kC\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {x_0} + kA\\{y_1} = {y_0} + kB\\{z_1} = {z_0} + kC\end{array} \right.\).

b) Thay tọa độ điểm N vào (P), ta được

A(x₀ + kA) + B(y₀ + kB) + C(z₀ + kC) + D = 0

Û k(A² + B² + C²) + Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D = 0

\( \Leftrightarrow k = \frac{{ - A{x_0} - B{y_0} - C{z_0} - D}}{{{A^2} + {B^2} + {C^2}}}\).

c) Ta có \(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \left| k \right|\left| {\overrightarrow n } \right|\) \( \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \left| k \right|\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \)

Mà \(k = \frac{{ - A{x_0} - B{y_0} - C{z_0} - D}}{{{A^2} + {B^2} + {C^2}}}\) nên \(MN = \left| {\frac{{ - A{x_0} - B{y_0} - C{z_0} - D}}{{{A^2} + {B^2} + {C^2}}}} \right|\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \)

\( \Leftrightarrow MN = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).

Do đó khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là \(d = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua M(2; 3; −1), song song với trục Ox và vuông góc với mặt phẳng (Q): x + 2y – 3z + 1 = 0.

Xem đáp án

Lời giải

Gọi mặt phẳng cần tìm là mặt phẳng (P).

Ta có \(\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)\) và \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;2; - 3} \right)\).

Vì (P) // Ox và (P) ^ (Q) nên \(\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow i ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {0;3;2} \right)\).

Mặt phẳng đi qua M(2; 3; −1) và nhận \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {0;3;2} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là: 3(y – 3) + 2(z + 1) = 0 Û 3y + 2z – 7 = 0.

Câu 2

(H.5.14) Góc quan sát ngang của một camera là 115°. Trong không gian Oxyz, camera được đặt tại điểm C(1; 2; 4) và chiếu thẳng về phía mặt phẳng (P): x + 2y + 2z + 3 = 0. Hỏi vùng quan sát được trên mặt phẳng (P) của camera là hình tròn có bán kính bằng bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất)

Xem đáp án

Lời giải

(H.5.14) Góc quan sát ngang của một camera là 115°. Trong không gian Oxyz, camera được đặt tại điểm C(1; 2; 4) và chiếu thẳng về phía mặt phẳng (P): x + 2y + 2z + 3 = 0. Hỏi vùng quan sát được trên mặt phẳng (ảnh 2)

Chọn các điểm như hình vẽ.

Gọi A là hình chiếu của C trên mặt phẳng (P).

Vì CBD là tam giác cân nên CA là đường cao, phân giác, trung tuyến của BD.

Ta có \(CA = d\left( {C,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 2.2 + 2.4 + 3} \right|}}{{\sqrt {1 + {2^2} + {2^2}} }} = \frac{{16}}{3}\).

Vì tam giác CAB vuông tại A, có \(\widehat {ACB} = \frac{{115^\circ }}{2} = 57,5^\circ \).

Suy ra R = AB = CA.tan57,5° ≈ 8,4.

Vậy vùng quan sát được trên mặt phẳng (P) của camera là hình tròn có bán kính bằng 8,4.

Câu 3