Câu hỏi:
12/07/2024 138
Trong không gian Oxyz, cho điểm M(x0; y0; z0) và mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\). Gọi N là hình chiếu vuông góc của M trên (P) (H.5.13).
a) Giải thích vì sao tồn tại số k để \(\overrightarrow {MN} = k\overrightarrow n \). Tính tọa độ của N theo k, tọa độ của M và các hệ số A, B, C, D.
b) Thay tọa độ của N vào phương trình mặt phẳng (P) để từ đó tính k theo tọa độ của M và các hệ số A, B, C, D.
c) Từ \(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \left| k \right|\left| {\overrightarrow n } \right|\), hãy tính độ dài của đoạn thẳng MN theo tọa độ của M và các hệ số A, B, C, D. Từ đó suy ra công thức tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P).
Trong không gian Oxyz, cho điểm M(x0; y0; z0) và mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\). Gọi N là hình chiếu vuông góc của M trên (P) (H.5.13).
a) Giải thích vì sao tồn tại số k để \(\overrightarrow {MN} = k\overrightarrow n \). Tính tọa độ của N theo k, tọa độ của M và các hệ số A, B, C, D.
b) Thay tọa độ của N vào phương trình mặt phẳng (P) để từ đó tính k theo tọa độ của M và các hệ số A, B, C, D.
c) Từ \(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \left| k \right|\left| {\overrightarrow n } \right|\), hãy tính độ dài của đoạn thẳng MN theo tọa độ của M và các hệ số A, B, C, D. Từ đó suy ra công thức tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P).
Câu hỏi trong đề:
Giải SGK Toán 12 KNTT Bài 14. Phương trình mặt phẳng có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Vì N là hình chiếu vuông góc của M trên (P) nên \(MN \bot (P)\).
Do đó \(\overrightarrow {MN} \) sẽ cùng phương với vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \).
Vậy tồn tại một số k sao cho \(\overrightarrow {MN} = k\overrightarrow n \).
Giả sử N(x1; y1; z1). Suy ra \(\overrightarrow {MN} = \left( {{x_1} - {x_0};{y_1} - {y_0};{z_1} - {z_0}} \right)\).
Vì \(\overrightarrow {MN} = k\overrightarrow n \) nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} - {x_0} = kA\\{y_1} - {y_0} = kB\\{z_1} - {z_0} = kC\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {x_0} + kA\\{y_1} = {y_0} + kB\\{z_1} = {z_0} + kC\end{array} \right.\).
b) Thay tọa độ điểm N vào (P), ta được
A(x0 + kA) + B(y0 + kB) + C(z0 + kC) + D = 0
Û k(A2 + B2 + C2) + Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0
\( \Leftrightarrow k = \frac{{ - A{x_0} - B{y_0} - C{z_0} - D}}{{{A^2} + {B^2} + {C^2}}}\).
c) Ta có \(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \left| k \right|\left| {\overrightarrow n } \right|\) \( \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \left| k \right|\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \)
Mà \(k = \frac{{ - A{x_0} - B{y_0} - C{z_0} - D}}{{{A^2} + {B^2} + {C^2}}}\) nên \(MN = \left| {\frac{{ - A{x_0} - B{y_0} - C{z_0} - D}}{{{A^2} + {B^2} + {C^2}}}} \right|\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \)
\( \Leftrightarrow MN = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).
Do đó khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là \(d = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', với A(1; −1; 3), B(0; 2; 4), D(2; −1; 1), A'(0; 1; 2).
a) Tìm tọa độ các điểm C, B', D'.
b) Viết phương trình mặt phẳng (CB'D').
Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', với A(1; −1; 3), B(0; 2; 4), D(2; −1; 1), A'(0; 1; 2).
a) Tìm tọa độ các điểm C, B', D'.
b) Viết phương trình mặt phẳng (CB'D').
Xem đáp án »
13/07/2024
2,450
Câu 2:
Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(1; 2; −1) và vuông góc với trục Ox.
Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(1; 2; −1) và vuông góc với trục Ox.
Xem đáp án »
13/07/2024
1,665
Câu 3:
(H.5.14) Góc quan sát ngang của một camera là 115°. Trong không gian Oxyz, camera được đặt tại điểm C(1; 2; 4) và chiếu thẳng về phía mặt phẳng (P): x + 2y + 2z + 3 = 0. Hỏi vùng quan sát được trên mặt phẳng (P) của camera là hình tròn có bán kính bằng bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất)
(H.5.14) Góc quan sát ngang của một camera là 115°. Trong không gian Oxyz, camera được đặt tại điểm C(1; 2; 4) và chiếu thẳng về phía mặt phẳng (P): x + 2y + 2z + 3 = 0. Hỏi vùng quan sát được trên mặt phẳng (P) của camera là hình tròn có bán kính bằng bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất)
Xem đáp án »
13/07/2024
1,560
Câu 4:
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + 3y – z = 0, (Q): x – y – 2z + 1 = 0.
a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau.
b) Tìm điểm M thuộc trục Ox và cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q).
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + 3y – z = 0, (Q): x – y – 2z + 1 = 0.
a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau.
b) Tìm điểm M thuộc trục Ox và cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q).
Xem đáp án »
13/07/2024
1,414
Câu 5:
Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua M(2; 3; −1), song song với trục Ox và vuông góc với mặt phẳng (Q): x + 2y – 3z + 1 = 0.
Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua M(2; 3; −1), song song với trục Ox và vuông góc với mặt phẳng (Q): x + 2y – 3z + 1 = 0.
Xem đáp án »
13/07/2024
1,395
Câu 6:
Trong không gian Oxyz, một ngôi nhà có sàn nhà thuộc mặt phẳng Oxy, trần nhà tầng 1 thuộc mặt phẳng z – 1 = 0, mái nhà tầng 2 thuộc mặt phẳng x + y + 50z – 100 = 0. Hỏi trong ba mặt phẳng tương ứng chứa sàn nhà, trần tầng 1, mái tầng 2, hai mặt phẳng nào song song với nhau.
Trong không gian Oxyz, một ngôi nhà có sàn nhà thuộc mặt phẳng Oxy, trần nhà tầng 1 thuộc mặt phẳng z – 1 = 0, mái nhà tầng 2 thuộc mặt phẳng x + y + 50z – 100 = 0. Hỏi trong ba mặt phẳng tương ứng chứa sàn nhà, trần tầng 1, mái tầng 2, hai mặt phẳng nào song song với nhau.
Xem đáp án »
13/07/2024
1,387
Câu 7:
Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; −1; 5) và vuông góc với hai mặt phẳng (Q): 3x + 2y – z = 0, (R): x + y – z = 0.
Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; −1; 5) và vuông góc với hai mặt phẳng (Q): 3x + 2y – z = 0, (R): x + y – z = 0.
Xem đáp án »
13/07/2024
1,295
về câu hỏi!