Trong không gian Oxyz, cho điểm M(x₀; y₀; z₀) và mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\). Gọi N là hình chiếu vuông góc của M trên (P) (H.5.13).

a) Giải thích vì sao tồn tại số k để \(\overrightarrow {MN} = k\overrightarrow n \). Tính tọa độ của N theo k, tọa độ của M và các hệ số A, B, C, D.

b) Thay tọa độ của N vào phương trình mặt phẳng (P) để từ đó tính k theo tọa độ của M và các hệ số A, B, C, D.

c) Từ \(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \left| k \right|\left| {\overrightarrow n } \right|\), hãy tính độ dài của đoạn thẳng MN theo tọa độ của M và các hệ số A, B, C, D. Từ đó suy ra công thức tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P).

a) Vì N là hình chiếu vuông góc của M trên (P) nên \(MN \bot (P)\).

Do đó \(\overrightarrow {MN} \) sẽ cùng phương với vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \).

Vậy tồn tại một số k sao cho \(\overrightarrow {MN} = k\overrightarrow n \).

Giả sử N(x₁; y₁; z₁). Suy ra \(\overrightarrow {MN} = \left( {{x_1} - {x_0};{y_1} - {y_0};{z_1} - {z_0}} \right)\).

Vì \(\overrightarrow {MN} = k\overrightarrow n \) nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} - {x_0} = kA\\{y_1} - {y_0} = kB\\{z_1} - {z_0} = kC\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {x_0} + kA\\{y_1} = {y_0} + kB\\{z_1} = {z_0} + kC\end{array} \right.\).

b) Thay tọa độ điểm N vào (P), ta được

A(x₀ + kA) + B(y₀ + kB) + C(z₀ + kC) + D = 0

Û k(A² + B² + C²) + Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D = 0

\( \Leftrightarrow k = \frac{{ - A{x_0} - B{y_0} - C{z_0} - D}}{{{A^2} + {B^2} + {C^2}}}\).

c) Ta có \(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \left| k \right|\left| {\overrightarrow n } \right|\) \( \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \left| k \right|\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \)

Mà \(k = \frac{{ - A{x_0} - B{y_0} - C{z_0} - D}}{{{A^2} + {B^2} + {C^2}}}\) nên \(MN = \left| {\frac{{ - A{x_0} - B{y_0} - C{z_0} - D}}{{{A^2} + {B^2} + {C^2}}}} \right|\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \)

\( \Leftrightarrow MN = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).

Do đó khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là \(d = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).