Tính khoảng cách trên mặt đất từ vị trí A là giao giữa kinh tuyến gốc với xích đạo đến vị trí B: 45°N, 30°E.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải SGK Toán 12 KNTT Bài 17. Phương trình mặt cầu có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Vì A là giao giữa kinh tuyến gốc với xích đạo nên A(1; 0; 0). Do đó $\overrightarrow {OA} = \left( {1;0;0} \right)$.

Điểm B(cos45°cos30°; cos45°sin30°; sin45°) hay $B\left( {\frac{{\sqrt 6 }}{4};\frac{{\sqrt 2 }}{4};\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)$.

Suy ra $\overrightarrow {OB} = \left( {\frac{{\sqrt 6 }}{4};\frac{{\sqrt 2 }}{4};\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)$.

Có $\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} = \frac{{\sqrt 6 }}{4}$.

Vì A, B thuộc mặt đất nên $\left| {\overrightarrow {OA} } \right| = \left| {\overrightarrow {OB} } \right| = 1$.

Do đó $\cos \widehat {AOB} = \frac{{\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} }}{{\left| {\overrightarrow {OA} } \right|.\left| {\overrightarrow {OB} } \right|}} \approx 0,6124$. Suy ra $\widehat {AOB} \approx 52,2388^\circ $.

Mặt khác, đường tròn tâm O đi qua A, B có bán kính 1 và chu vi là 2π ≈ 6,2832, nên cung nhỏ của đường tròn đó có độ dài xấp xỉ bằng $\frac{{52,2388}}{{360}}.6,2832 \approx 0,9117$.

Do 1 đơn vị dài trong không gian Oxyz tương ứng với 6371 km trên thực tế, nên khoảng cách trên mặt đất giữa hai vị trí A, B xấp xỉ bằng 0,9117.6371 = 5808,4407 (km).

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong không gian Oxyz, một thiết bị phát sóng đặt tại vị trí A(2; 0; 0). Vùng phủ sóng của thiết bị có bán kính bằng 1.Hỏi vị trí M(2; 1; 1) có thuộc vùng phủ sóng của thiết bị nói trên hay không?

Xem đáp án

Lời giải

Ta có $A M = \sqrt{{(2 - 2)}^{2} + 1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2} > 1$ .

Do đó vị trí M(2; 1; 1) không thuộc vùng phủ sóng của thiết bị nói trên.

Câu 2

Trong không gian Oxyz, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu đó.

a) x² + y² + z² – 2x – 5z + 30 = 0;

b) x² + y² + z² – 4x + 2y – 2z = 0;

c) x³ + y³ + z³ – 2x + 6y – 9z – 10 = 0;

d) x² + y² + z² + 5 = 0.

Xem đáp án

Lời giải

a) Phương trình có a = 1; b = 0; $c = \frac{5}{2}$; d = 30.

Có ${a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 1 + 0 + {\left( {\frac{5}{2}} \right)^2} - 30 = - \frac{{91}}{4} < 0$. Nên phương trình này không phải là phương trình mặt cầu.

b) Ta có a = 2; b = −1; c = 1; d = 0.

Có a² + b² + c² – d = 2² + (−1)² + 1² – 0 = 6 > 0.

Do đó đây là phương trình mặt cầu.

Mặt cầu có tâm I(2; −1; 1) và $R = \sqrt 6 $.

c) Đây không phải là phương trình mặt cầu. Vì phương trình mặt cầu phải có dạng:

x² + y² + z² + …

d) Đây không phải là mặt cầu vì x² + y² + z² = −5 < 0 (Vô lý).

Câu 3