Cho phân thức $P=\frac{x^2-4x+4}{x^3-8}.$

a) Kiểm tra xem x = −2 có thỏa mãn điều kiện xác định của P không.

b) Rút gọn P và tính giá trị của P tại x = −2.

a) Phân thức $\frac{{\left(x-2\right)}^3}{x^2-2x}$ có mẫu thức là x² – 2x. Phân tích đa thức này thành nhân tử, ta được $\frac{{\left(x-2\right)}^3}{x^2-2x}=\frac{{\left(x-2\right)}^3}{x\left(x-2\right)}.$ do đó $\frac{{\left(x-2\right)}^3}{x^2-2x}=\frac{{\left(x-2\right)}^3}{x\left(x-2\right)}.$

Chia cả tử và mẫu của phân thức này cho x – 2, ta được $\frac{{\left(x-2\right)}^3}{x^2-2x}=\frac{{\left(x-2\right)}^2}{x}.$

b) Vì 1 – x = −(x – 1) và −5x + 1 = −(5x – 1) nên nhân cả tử và mẫu của phân thức $\frac{1-x}{-5x+1}$ với −1, ta được $\frac{1-x}{-5x+1}=\frac{x-1}{5x-1}.$

a) Ta có: 27x³ – 1 = (3x)³ – 1 = (3x – 1)(9x² + 3x + 1).

Do đó $\frac{9x^2+3x+1}{27x^3-1}=\frac{9x^2+3x+1}{\left(3x-1\right)\left(9x^2+3x+1\right)}=\frac{1}{3x-1}.$

Tương tự, x² – 4x = x(x – 4) và 16 – x² = (4 – x)(4 + x) nên

$\frac{x^2-4x}{16-x^2}=\frac{x\left(x-4\right)}{\left(4-x\right)\left(4+x\right)}=\frac{-x\left(4-x\right)}{\left(4-x\right)\left(4+x\right)}=\frac{-x}{4+x}.$

b) Mẫu số chung của hai phân thức nhận được ở câu a là (3x – 1)(4 + x).

Quy đồng mẫu thức hai phân thức nhận được ở câu a, ta được:

$\frac{1}{3x-1}=\frac{4+x}{\left(3x-1\right)\left(4+x\right)}$ và $\frac{-x}{4+x}=\frac{-x\left(3x-1\right)}{\left(3x-1\right)\left(4+x\right)}.$