Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng

∆: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2t\\z = - 1 - 2t\end{array} \right.\) và mặt phẳng (P): 2x + y + z + 5 = 0.

a) Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P).

b) Viết phương trình đường thẳng ∆' nằm trên mặt phẳng (P) đồng thời cắt ∆ và vuông góc với ∆.

c) Tính góc giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P).

a) Đường thẳng ∆ đi qua A(2; 1; −1) và nhận vectơ \(\overrightarrow {{u_\Delta }} \) = (3; 2; 1) làm vectơ chỉ phương.

Đường thẳng ∆' đi qua B(−1; 2; 3) và nhận vectơ \(\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} \) = (1; −1; 2) làm vectơ chỉ phương.

Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} } \right]\) = (5; −5; −5) và \(\overrightarrow {AB} \) = (−3; 1; 4) nên \(\left[ {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} } \right].\overrightarrow {AB} \) = −40 ≠ 0.

Hai đường thẳng ∆ và ∆' chéo nhau.

b) Ta có: cos(∆, ∆') = \(\left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} .\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} } \right|}} = \frac{{\left| {3.1 + 2.\left( { - 1} \right) + 1.2} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }}\) = \(\frac{{\sqrt {21} }}{{14}}\).

c) Đường thẳng d song song với đường thẳng ∆ nên nhận \(\overrightarrow {{u_\Delta }} \) = (3; 2; 1) làm vectơ chỉ phương.

Phương trình đường thẳng d là: \(\frac{{x + 3}}{3} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 2}}{1}\).

Mặt phẳng nằm ngang (Oxy) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow k \) = (0; 0; 1).

Mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến là (1; 1; 1).

Ta có: cos((Oxy), (α)) = \(\left| {\cos \left( {\overrightarrow k ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow k .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow k } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {0.1 + 0.1 + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

⇒ ((Oxy), (α)) ≈ 54,7°.