Câu hỏi:
21/08/2024 3,330
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x – 2)2 + (y + 1)2 + (z – 3)2 = 9 và điểm A(2; −1; 1).
a) Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).
b) Chứng minh rằng điểm A nằm trong mặt cầu (S).
c) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A sao cho khoảng cách từ tâm I của mặt cầu (S) đến mặt phẳng (P) là lớn nhất.
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x – 2)2 + (y + 1)2 + (z – 3)2 = 9 và điểm A(2; −1; 1).
a) Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).
b) Chứng minh rằng điểm A nằm trong mặt cầu (S).
c) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A sao cho khoảng cách từ tâm I của mặt cầu (S) đến mặt phẳng (P) là lớn nhất.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Ta có: (x – 2)2 + (y + 1)2 + (z – 3)2 = 9
⇔ (x – 2)2 + (y + 1)2 + (z – 3)2 = 32
Mặt cầu có tâm I(2; −1; 3) và bán kính R = 3.
b) Ta có: IA = \(\sqrt {{{\left( {2 - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1 + 1} \right)}^2} + {{\left( {1 - 3} \right)}^2}} \) = 2 < 3 nên A nằm trong mặt cầu (S).
c) Kẻ IH vuông góc với mặt phẳng (P), có IH ≤ IA nên để IH lớn nhất thì H trùng với A hay \(\overrightarrow {IA} \) = (0; 0; −2) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Do đó, phương trình mặt phẳng (P) là: −2(z – 1) = 0 hay z – 1 = 0.
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- 20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 55.000₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) Ta có I thuộc d nên I có dạng I(1 + t; 2t; −1 – 2t).
I cũng thuộc (P) nên thay I vào phương tình mặt phẳng (P), ta được:
2(1 + t) + 2t + (−1 – 2t) + 5 = 0
⇔ 2t + 6 = 0
⇔ t = −3.
⇒ I(−2; −6; 5).
b) Ta có: \(\overrightarrow {{u_\Delta }} \) = (1; 2; −2), \(\overrightarrow {{n_P}} \) = (2; 1; 1).
⇒ \(\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} = \left[ {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 2}\\1&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&1\\1&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\2&1\end{array}} \right|} \right)\) = (4; −5; −3) là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆'.
Đường thẳng ∆' qua I nên ta có phương trình đường thẳng như sau: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + 4t\\y = - 6 - 5t\\z = 5 - 3t\end{array} \right.\).
c) Ta có: \(\overrightarrow {{u_\Delta }} \) = (1; 2; −2), \(\overrightarrow {{n_P}} \) = (2; 1; 1).
Do đó, sin(∆, (P)) = \(\left| {\cos \left( {{{\overrightarrow u }_\Delta },{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}}} \right)} \right| = \frac{{\left| {{{\overrightarrow u }_\Delta }.{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}}} \right|}}{{\left| {{{\overrightarrow u }_\Delta }} \right|.\left| {{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}}} \right|}} = \frac{{\left| {1.2 + 2.1 + \left( { - 2} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 6 }}{9}\).
⇒ (∆, (P)) ≈ 15,8°.
Lời giải
a) Đường thẳng ∆ đi qua A(2; 1; −1) và nhận vectơ \(\overrightarrow {{u_\Delta }} \) = (3; 2; 1) làm vectơ chỉ phương.
Đường thẳng ∆' đi qua B(−1; 2; 3) và nhận vectơ \(\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} \) = (1; −1; 2) làm vectơ chỉ phương.
Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} } \right]\) = (5; −5; −5) và \(\overrightarrow {AB} \) = (−3; 1; 4) nên \(\left[ {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} } \right].\overrightarrow {AB} \) = −40 ≠ 0.
Hai đường thẳng ∆ và ∆' chéo nhau.
b) Ta có: cos(∆, ∆') = \(\left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} .\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} } \right|}} = \frac{{\left| {3.1 + 2.\left( { - 1} \right) + 1.2} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }}\) = \(\frac{{\sqrt {21} }}{{14}}\).
c) Đường thẳng d song song với đường thẳng ∆ nên nhận \(\overrightarrow {{u_\Delta }} \) = (3; 2; 1) làm vectơ chỉ phương.
Phương trình đường thẳng d là: \(\frac{{x + 3}}{3} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 2}}{1}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
🔥 Đề thi HOT:
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)
-
79 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
-
56 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Lôgarit có đáp án
-
87 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 3 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)
-
140 câu Bài tập Hàm số mũ và Logarit cơ bản, nâng cao cực hay có lời giải chi tiết (P1)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận