Trong không gian Oxyz, tại một phạm vi hẹp, (Oxy) là mặt phẳng nằm ngang. Một đường ống nước thẳng đi qua hai điểm A(1; 1; 2) và B(1; 2; 1). Hỏi đường ống nói trên nghiêng bao nhiêu độ (so với mặt phẳng ngang)?

a) Ta có I thuộc d nên I có dạng I(1 + t; 2t; −1 – 2t).

I cũng thuộc (P) nên thay I vào phương tình mặt phẳng (P), ta được:

2(1 + t) + 2t + (−1 – 2t) + 5 = 0

⇔ 2t + 6 = 0

⇔ t = −3.

⇒ I(−2; −6; 5).

b) Ta có: \(\overrightarrow {{u_\Delta }} \) = (1; 2; −2), \(\overrightarrow {{n_P}} \) = (2; 1; 1).

⇒ \(\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} = \left[ {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 2}\\1&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&1\\1&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\2&1\end{array}} \right|} \right)\) = (4; −5; −3) là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆'.

Đường thẳng ∆' qua I nên ta có phương trình đường thẳng như sau: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + 4t\\y = - 6 - 5t\\z = 5 - 3t\end{array} \right.\).

c) Ta có: \(\overrightarrow {{u_\Delta }} \) = (1; 2; −2), \(\overrightarrow {{n_P}} \) = (2; 1; 1).

Do đó, sin(∆, (P)) = \(\left| {\cos \left( {{{\overrightarrow u }_\Delta },{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}}} \right)} \right| = \frac{{\left| {{{\overrightarrow u }_\Delta }.{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}}} \right|}}{{\left| {{{\overrightarrow u }_\Delta }} \right|.\left| {{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}}} \right|}} = \frac{{\left| {1.2 + 2.1 + \left( { - 2} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 6 }}{9}\).

⇒ (∆, (P)) ≈ 15,8°.

Mặt phẳng nằm ngang (Oxy) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow k \) = (0; 0; 1).

Mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến là (1; 1; 1).

Ta có: cos((Oxy), (α)) = \(\left| {\cos \left( {\overrightarrow k ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow k .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow k } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {0.1 + 0.1 + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

⇒ ((Oxy), (α)) ≈ 54,7°.