Tìm họ tất cả các nguyên hàm của các hàm số sau:

a) \(y = {\sin ^2}\frac{x}{2}\);

b) y = e2x – 2x5 + 5.

Một ô tô đồ chơi trượt xuống dốc và dừng sau 5 giây, vận tốc của ô tô đồ chơi từ thời điểm t = 0 giây đến t = 5 giây được cho bởi công thức v(t) = \(\frac{1}{2}\)t² – 0,1t³ (m/s).

Tính quãng đường ô tô đồ chơi đi đến khi dừng lại (làm tròn kết quả theo đơn vị mét đến số thập phân thứ hai).

Khi nghiên cứu một quần thể vi khuẩn, người ta nhận thấy quần thể vi khuẩn đó ở ngày thứ t có số lượng N(t) con. Biết rằng tốc độ phát triển của quần thể đó là N'(t) = \(\frac{{8000}}{t}\) và sau ngày thứ nhất (t = 1) có 250 000 con. Sau 6 ngày (t = 6), số lượng của quần thể vi khuẩn là

A. 353 584 con.

B. 234 167 con.

C. 288 959 con.

D. 264 334 con.

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] và

f(x) ≤ 0, ∀x ∈ [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b được tính bằng công thức

A. S = \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \).

B. S = \( - \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \).

C. S = \(\pi \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \).

D. S = \(\pi \int\limits_a^b {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}dx} \).

Khi nghiên cứu dịch sốt xuất huyết ở một địa phương, các chuyên gia y tế ước tính rằng tại ngày thứ m có F(m) người mắc bệnh (sau khi đã làm tròn đến chữ số hàng đơn vị). Biết rằng tốc độ lan truyền bệnh là F'(m) = \(\frac{{150}}{{2m + 1}}\) và ngày đầu tiên (m = 0) người ta phát hiện ra 50 bệnh nhân. Hãy xác định biểu thức của F(m) và số người mắc bệnh ở ngày thứ 10.

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để \(\int\limits_0^3 {\left( {10x - 2m} \right)dx}  > 0\)?

Cho S là diện tích phần hình phẳng được tô màu như Hình 4.7.

Khi đó biểu thức tính diện tích S là

A. \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x) - g(x)} \right|} dx\).

B. \(S = \int\limits_a^m {\left| {f(x) - g(x)} \right|} dx + \int\limits_m^b {\left| {f(x) - g(x)} \right|} dx\).

C. \(S = \int\limits_a^m {\left| {f(x)} \right|} dx + \int\limits_m^b {\left| {g(x)} \right|} dx\).

D. \(S = \int\limits_a^m {\left| {g(x)} \right|} dx + \int\limits_m^b {\left| {f(x)} \right|} dx\).

\(\int {{x^2}} dx\)bằng:

A. 2x + C.

B. \(\frac{1}{3}\)x³ + C.

C. x³ + C.

D. 3x³ + C.