Câu hỏi:

22/08/2024 550

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số y = \(\frac{{2x - 1}}{{x - 1}}\). Tìm tọa độ tâm đối xứng I của đồ thị.

b) Tìm điều kiện của tham số m để đường thẳng d: y = −x + m cắt đồ thị (H) tại hai điểm phân biệt.

c) Chứng minh rằng tiếp tuyến của đồ thị (H) tại mọi điểm M thuộc (H) luôn cắt hai tiệm của (H) tại hai điểm A và B thuộc hai nhánh của đồ thị và đoạn AB ngắn nhất.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải SBT Toán 12 Tập 2 KNTT Bài tập ôn tập cuối năm có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Tập xác định: D = ℝ\{1}.

Chiều biến thiên: y' = \(\frac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\) < 0, ∀x ≠ 1.

Vậy hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định (−∞; 1) và (1; +∞).

Hàm số không có cực trị.

Giới hạn tại vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 2\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 2\). Vậy đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Giới hạn vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = + \infty \). Vậy đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có bảng biến thiên:

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số y = (2x-1)/(x-1) Tìm tọa độ tâm đối xứng I của đồ thị. b) Tìm điều kiện của tham số m để đường thẳng d: y = −x + m cắt đồ thị (H) tại hai điểm phân biệt. c) Chứng minh rằng tiếp tuyến của đồ thị (H) tại mọi điểm M thuộc (H) luôn cắt hai tiệm của (H) tại hai điểm A và B thuộc hai nhánh của đồ thị và đoạn AB ngắn nhất. (ảnh 1)

Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(1; 2) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.

b) Đường thẳng thẳng d: y = −x + m cắt đồ thị (H): y = \(\frac{{2x - 1}}{{x - 1}}\) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình \(\frac{{2x - 1}}{{x - 1}}\) = −x + m có hai nghiệm phân biệt khác 1.

Ta có: \(\frac{{2x - 1}}{{x - 1}}\) = −x + m

⇔ 2x − 1 = (x – 1)(−x + m).

⇔ x²+ (1 – m)x + m – 1 = 0 (x ≠ 1)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta = {\left( {1 - m} \right)^2} - 4\left( {m - 1} \right) > 0\\1 + 1 - m + m - 1 \ne 0\end{array} \right.\) ⇔ m² – 6m + 5 > 0 ⇔ m ∈ (−∞; 1) ∪ (5; +∞).

Lấy điểm M\(\left( {t;\frac{{2t - 1}}{{t - 1}}} \right)\) bất kì thuộc đồ thị (H) với t ≠ 1. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (H) tại tiếp điểm M là

∆: y = y'(t)(x – t) + y(t) hay y = \(\frac{{ - 1}}{{{{\left( {t - 1} \right)}^2}}}\left( {x - t} \right) + \frac{{2t - 1}}{{t - 1}}\).

Đường thẳng ∆ cắt tiệm cận đứng tại A\(\left( {1;\frac{{2t}}{{t - 1}}} \right)\). Ta có: IA = \(\frac{2}{{\left| {t - 1} \right|}}\).

Đường thẳng ∆ cắt tiệm cận ngang tại điểm B(2t – 1; 2). Ta có IB = 2\(\left| {t - 1} \right|\).

Vậy diện tích tam giác IAB là \({S_{\Delta IAB}} = \frac{1}{2}IA.IB = \frac{1}{2}.\frac{2}{{\left| {t - 1} \right|}}.2\left| {t - 1} \right| = 2\) (đvdt).

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một cặp trẻ sinh đôi có thể do cùng một trứng sinh ra (gọi đó là cặp song sinh cùng trứng) hay do hai trứng khác nhau sinh ra (gọi là cặp song sinh khác trứng). Cặp song sinh cùng trứng luôn có cùng giới tính. Cặp song sinh khác trứng có xác suất \(\frac{1}{2}\) là cùng giới tính. Thống kê cho thấy 34% cặp song sinh cùng là trai và 30% cặp song sinh cùng là gái.

a) Chọn ngẫu nhiên một cặp trẻ sinh đôi. Tính xác suất để cặp trẻ sinh đôi được chọn là cặp song sinh cùng trứng.

b) Chọn ngẫu nhiên một cặp sinh đôi ta được một cặp sinh đôi có cùng giới tính. Tính xác suất để cặp sinh đôi này cặp song sinh cùng trứng.

Xem đáp án

Lời giải

a) Gọi A là biến cố: “Cặp sinh đôi là song sinh cùng trứng”

B là biến cố: “Cặp sinh đôi có cùng giới tính”.

Theo đề bài, ta có: P(B | A) = 1, P(B | \(\overline A \)) = \(\frac{1}{2}\) và P(B) = 0,34 + 0,3 = 0,64.

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

P(B) = P(A).P(B | A) + P(\(\overline A \)).P(B | \(\overline A \))

⇔ 0,64 = P(A).1 + (1 – P(A)).\(\frac{1}{2}\)

⇔ 0,64 = P(A) – \(\frac{1}{2}\)P(A) + \(\frac{1}{2}\)

⇔ 0,14 = \(\frac{1}{2}\)P(A)

⇔ P(A) = 0,28.

Vậy xác suất để cặp sinh đôi được chọn là cặp song sinh cùng trứng bằng 0,28.

b) Xác suất để chọn được cặp sinh đôi cùng trứng biết rằng cặp sinh đôi đó cùng giới tính là P(A | B).

Theo công thức nhân xác suất, ta có: P(AB) = P(A).P(B | A).

Ta có, P(A) = 0,28. Theo giả thiết P(B | A) = 1.

Do đó, P(AB) = P(A).P(B | A) = 0,28.

Lại có P(B) = 0,34 + 0,3 = 0,64.

Như vậy, P(A | B) = \(\frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,28}}{{0,64}} = 0,4375\).

Câu 2

Chọn ngẫu nhiên gia đình có 2 con. Biết rằng người con đầu là con gái. Xác suất để gia đình đó có hai con gái là

A. 0,6.

B. 0,5.

C. 0,55.

D. 0,65.

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Kí hiệu G là con gái, T là con trai.

Gọi A là biến cố: “Cả hai là con gái”.

B là biến cố: “Người con đầu là con gái”.

Lúc này, P(A | B) là xác suất để chọn được gia đình có hai con gái trong đó người con đầu là con gái.

Ta có: B ={GT; GG} ⇒ n(B) = 2;

AB = {GG} ⇒ n(AB) = 1.

Vậy P(B) = \(\frac{1}{2}\), P(AB) = \(\frac{1}{4}\) ⇒ P(A | B) = \(\frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}}\) = \(\frac{1}{2}\).

Câu 3