Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình bậc hai x² – 5x + 3 = 0. Không giải phương trình, hãy tính:

a) \({x_1}^2 + {x_2}^2;\)

b) \({\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2}.\)

Một chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật, không có nắp, có đáy là hình vuông, tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy là 800 cm². Chiều cao của hộp là 10 cm. Tính độ dài cạnh đáy của chiếc hộp (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của cm).

Tìm hai số u và v, biết:

a) u + v = 15, uv = 56.

b) u² + v² = 125, uv = 22.

Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình x² – 2x – 5 = 0. Không giải phương trình, hãy tính:

a) x₁³ + x₂³;

b) \(\frac{1}{{{x_1}^2}} + \frac{1}{{{x_2}^2}}.\)

Tính nhẩm các nghiệm của mỗi phương trình sau:

a) \(\sqrt 2 {x^2} - \left( {\sqrt 2 + 1} \right)x + 1 = 0;\)

b) \(2{x^2} + \left( {\sqrt 3 - 1} \right)x - 3 + \sqrt 3 = 0.\)

Một nhà máy theo kế hoạch phải sản xuất 4 000 sản phẩm. Trong 10 ngày đầu nhà máy sản xuất theo đúng kế hoạch ban đầu. Do cải tiến kĩ thuật nên những ngày sau nhà máy sản xuất vượt mức 20 sản phẩm mỗi ngày. Tính số sản phẩm mỗi ngày nhà máy sản xuất theo kế hoạch, biết rằng nhà máy đã hoàn thành số sản phẩm sớm hơn dự định 5 ngày.

Nhu cầu của khách hàng đối với một loại áo phông tại một cửa hàng được cho bởi phương trình p = 100 – 0,02x, trong đó p là giá của mỗi chiếc áo (nghìn đồng) và x là số lượng áo phông bán được. Doanh thu R (nghìn đồng) khi bán được x chiếc áo phông là:

R = xp = x(100 – 0,02x).

Hỏi cần phải bán được bao nhiêu chiếc áo phông để có doanh thu đạt 120 triệu đồng?