Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) như hình bên. Phép quay ngược chiều 60^o tâm O biến các điểm A, B, C lần lượt thành các điểm D, E, F. Chứng minh rằng ADBECF là một lục giác đều.

Theo hình vẽ, ta thấy ADBECF là lục giác lồi và nội tiếp đường tròn (O; R).

Ta có \(\widehat {AOD} = 60^\circ ;\) \(\widehat {DOB} = \widehat {AOB} - \widehat {AOD} = 2\widehat {ACB} - \widehat {AOD} = 60^\circ .\) Do đó các tam giác cân AOD và DOB là các tam giác đều. Suy ra AD = DB = OD = R. Tương tự, ta suy ra:

AD = DB = BE = EC = CF = FA = R.

Như vậy ta được lục giác lồi ADBECF có các cạnh bằng nhau và nội tiếp đường tròn (O).

Mặt khác, tương tự như trên ta có

 $sđ\stackrel{⏜}{AOD}=sđ\stackrel{⏜}{DOB}=sđ\stackrel{⏜}{BOE}=sđ\stackrel{⏜}{EOC}=sđ\stackrel{⏜}{COF}=sđ\stackrel{⏜}{FOA}=60°.$

Do đó các góc của lục giác này là các góc nội tiếp của (O) chắn cung có số đo đều bằng \(\frac{4}{6}.360^\circ .\) Vậy các góc của lục giác ADBECF bằng nhau và bằng \(\frac{2}{6}.360^\circ = 120^\circ .\)

Vậy ADBECF là lục giác đều.