Câu hỏi:

13/09/2024 1,586

Cho tam giác ABC cân tại A, có O, I lần lượt là tâm các đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

a) Chứng minh rằng:

– Ba điểm A, O, I cùng thuộc một đường thẳng;

– Đường thẳng OA vuông góc với BC và đi qua điểm chính giữa D (khác điểm A) của cung BC.

b) Cho BC = 24 cm, AC = 20 cm. Tính độ dài bán kính R của đường tròn ngoại tiếp và bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Câu hỏi trong đề: Giải SBT Toán 9 Cánh diều Bài 1. Đường tròn ngoại tiếp tam giác. Đường tròn nội tiếp tam giác !!

Sale Tết giảm 50% 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 49k/cuốn).

Sách đề toán-lý-hóa Sách văn-sử-địa Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho tam giác ABC cân tại A, có O, I lần lượt là tâm các đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam (ảnh 1)

a) ⦁ Vì tam giác ABC cân tại A nên đường trung trực AO của cạnh BC (do O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC) đồng thời là đường phân giác của góc BAC.

Mà AI là đường phân giác của góc BAC (do I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC).

Suy ra hai đường thẳng AO và AI trùng nhau hay ba điểm A, O, I cùng thuộc một đường thẳng.

⦁ Do OA là đường trung trực của BC nên OA ⊥ BC.

Ta có $\hat{B A I} = \hat{C A I}$ (do AI là đường phân giác của góc BAC) hay $\hat{B A O} = \hat{C A O}$

Gọi D là giao điểm của AO với đường tròn (O) (khác điểm A) nên $\hat{B A D} = \hat{C A D}$

Suy ra BD = CD.

Do đó đường thẳng OA đi qua điểm chính giữa D (khác điểm A) của cung BC.

b) ⦁ Gọi H là giao điểm của AD và BC. Do đó, AH ⊥ BC và H là trung điểm của BC.

Suy ra $H B = H C = \frac{1}{2} B C = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12$ (cm).

Xét ∆ACH vuông tại H, theo định lí Pythagore, ta có:

AC² = AH² + HC²

Suy ra $A H = \sqrt{A C^{2} - H C^{2}} = \sqrt{20^{2} - 12^{2}} = \sqrt{256} = 16$ (cm).

Ta có AD là đường kính của đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC nên $\hat{A C D} = 90 °$ .

Xét ∆ACH và ∆ADC có:

$\hat{A H C} = \hat{A C D} = 90 °$ và góc A chung

Do đó ∆ACH ᔕ ∆ADC (g.g)

Suy ra $\frac{A C}{A D} = \frac{A H}{A C}$ hay AC² = AH.AD.

Nên $A D = \frac{A C^{2}}{A H} = \frac{20^{2}}{16} = 25$ (cm).

Do đó, bán kính đường tròn (O) đường kính AD ngoại tiếp ∆ABC là $R = \frac{A D}{2} = \frac{25}{2} = 12, 5$ (cm).

⦁ Do ∆ABC cân tại A nên AB = AC = 20 cm.

Do BI là phân giác của góc ABH nên $\frac{I H}{I A} = \frac{B H}{B A} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$ .

Ta có $\frac{I H}{I A} = \frac{3}{5}$ hay $\frac{I H}{I H + I A} = \frac{3}{3 + 5}$ (tính chất tỉ lệ thức) hay $\frac{I H}{A H} = \frac{3}{8}$

Tức là $\frac{r}{16} = \frac{3}{8}$ .Vì vậy $r = \frac{16 \cdot 3}{8} = 6$ cm.

Vậy độ dài bán kính R của đường tròn ngoại tiếp và bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác ABC lần lượt là R = 12,5 cm và r = 6 cm.

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6, AC = 8, bán kính đường tròn nội tiếp là r, bán kính đường tròn ngoại tiếp là R. Tính $\frac{r}{R}$

Xem đáp án » 13/09/2024 3,324

Câu 2:

Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Đường thẳng AO cắt (O) và (O’) lần lượt tại hai điểm C, E (khác điểm A). Đường thẳng AO’ cắt (O) và (O’) lần lượt tại hai điểm D, F (khác điểm A). Chứng minh:

a) C, B, F thẳng hàng;

b) Bốn điểm C, D, E, F cùng nằm trên một đường tròn;

c) A là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BDE.

Xem đáp án » 13/09/2024 2,912

Câu 3:

Trên đường tròn (O) bán kính R, lấy các điểm A, B, C, D sao cho $s đ \overset{⏜}{A B} = 60 °, s đ \overset{⏜}{B C} = 90 °, s đ \overset{⏜}{C D} = 120 °$ (Hình 7).

a) Xác định tâm và tính theo R bán kính đường tròn ngoại tiếp của các tam giác OAB, OBC, OAD, ODC.

b) Gọi I là giao điểm của AC và BD. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của các tam giác IAB, IBC, IAD, IDC.

Xem đáp án » 13/09/2024 1,234

Câu 4:

Cho tam giác nhọn ABC. Các đường cao BE, CD của tam giác ABC cắt nhau tại K. Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp mỗi tam giác sau:

a) Tam giác BDE;

b) Tam giác DEC;

c) Tam giác ADE.

Xem đáp án » 13/09/2024 971

Câu 5:

Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R.

a) Chứng minh rằng O cũng là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

b) Vẽ tam giác IJK ngoại tiếp đường tròn (O; R) với JK // BC, IJ // AC, IK // AB. Chứng minh tam giác IJK đều.

c) Gọi R’ là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác IJK và r là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Tính $\frac{r}{R'}$

Xem đáp án » 13/09/2024 964

Câu 6:

Cho tam giác nhọn ABC $(\hat{B} > \hat{C})$ phân giác AM. Gọi O, O₁, O₂ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC, AMB, AMC. Chứng minh rằng:

a) OO₁, OO₂, O₁O₂ lần lượt là các đường trung trực của AB, AC, AM;

b) Tam giác OO₁O₂ cân.

Xem đáp án » 13/09/2024 808

Xem thêm các câu hỏi khác »