Câu hỏi:

13/09/2024 6,008

Cho tam giác ABC cân tại A, có O, I lần lượt là tâm các đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

a) Chứng minh rằng:

– Ba điểm A, O, I cùng thuộc một đường thẳng;

– Đường thẳng OA vuông góc với BC và đi qua điểm chính giữa D (khác điểm A) của cung BC.

b) Cho BC = 24 cm, AC = 20 cm. Tính độ dài bán kính R của đường tròn ngoại tiếp và bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải SBT Toán 9 Cánh diều Bài 1. Đường tròn ngoại tiếp tam giác. Đường tròn nội tiếp tam giác !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho tam giác ABC cân tại A, có O, I lần lượt là tâm các đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam (ảnh 1)

a) ⦁ Vì tam giác ABC cân tại A nên đường trung trực AO của cạnh BC (do O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC) đồng thời là đường phân giác của góc BAC.

Mà AI là đường phân giác của góc BAC (do I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC).

Suy ra hai đường thẳng AO và AI trùng nhau hay ba điểm A, O, I cùng thuộc một đường thẳng.

⦁ Do OA là đường trung trực của BC nên OA ⊥ BC.

Ta có $\hat{B A I} = \hat{C A I}$ (do AI là đường phân giác của góc BAC) hay $\hat{B A O} = \hat{C A O}$

Gọi D là giao điểm của AO với đường tròn (O) (khác điểm A) nên $\hat{B A D} = \hat{C A D}$

Suy ra BD = CD.

Do đó đường thẳng OA đi qua điểm chính giữa D (khác điểm A) của cung BC.

b) ⦁ Gọi H là giao điểm của AD và BC. Do đó, AH ⊥ BC và H là trung điểm của BC.

Suy ra $H B = H C = \frac{1}{2} B C = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12$ (cm).

Xét ∆ACH vuông tại H, theo định lí Pythagore, ta có:

AC² = AH² + HC²

Suy ra $A H = \sqrt{A C^{2} - H C^{2}} = \sqrt{20^{2} - 12^{2}} = \sqrt{256} = 16$ (cm).

Ta có AD là đường kính của đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC nên $\hat{A C D} = 90 °$ .

Xét ∆ACH và ∆ADC có:

$\hat{A H C} = \hat{A C D} = 90 °$ và góc A chung

Do đó ∆ACH ᔕ ∆ADC (g.g)

Suy ra $\frac{A C}{A D} = \frac{A H}{A C}$ hay AC² = AH.AD.

Nên $A D = \frac{A C^{2}}{A H} = \frac{20^{2}}{16} = 25$ (cm).

Do đó, bán kính đường tròn (O) đường kính AD ngoại tiếp ∆ABC là $R = \frac{A D}{2} = \frac{25}{2} = 12, 5$ (cm).

⦁ Do ∆ABC cân tại A nên AB = AC = 20 cm.

Do BI là phân giác của góc ABH nên $\frac{I H}{I A} = \frac{B H}{B A} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$ .

Ta có $\frac{I H}{I A} = \frac{3}{5}$ hay $\frac{I H}{I H + I A} = \frac{3}{3 + 5}$ (tính chất tỉ lệ thức) hay $\frac{I H}{A H} = \frac{3}{8}$

Tức là $\frac{r}{16} = \frac{3}{8}$ .Vì vậy $r = \frac{16 \cdot 3}{8} = 6$ cm.

Vậy độ dài bán kính R của đường tròn ngoại tiếp và bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác ABC lần lượt là R = 12,5 cm và r = 6 cm.

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Đường thẳng AO cắt (O) và (O’) lần lượt tại hai điểm C, E (khác điểm A). Đường thẳng AO’ cắt (O) và (O’) lần lượt tại hai điểm D, F (khác điểm A). Chứng minh:

a) C, B, F thẳng hàng;

b) Bốn điểm C, D, E, F cùng nằm trên một đường tròn;

c) A là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BDE.

Xem đáp án

Lời giải

Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Đường thẳng AO cắt (O) và (O’) lần lượt (ảnh 1)

a) Xét đường tròn (O) có AC là đường kính nên $\hat{A B C} = 90 °$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)).

Xét đường tròn (O’) có AF là đường kính nên $\hat{A B F} = 90 °$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O’)).

Do đó $\hat{A B C} + \hat{A B F} = 90 ° + 90 ° = 180 °$ hay $\hat{C B F} = 180 °$ .

Suy ra C, B, F thẳng hàng.

b) Xét đường tròn (O) có AC là đường kính nên $\hat{A D C} = 90 °$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)).

Xét đường tròn (O’) có AF là đường kính nên $\hat{A E F} = 90 °$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O’)).

Do đó $\hat{F D C} = \hat{C E F} = 90 °$ nên hai điểm D, E nằm trên đường tròn đường kính CF.

Vậy bốn điểm C, D, E, F cùng nằm trên một đường tròn đường kính CF.

c) Ta có $\hat{D C A} = \hat{D B A}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung DA của đường tròn (O)).

Tương tự $\hat{A B E} = \hat{A F E}$ và $\hat{D C E} = \hat{D F E}$ .

Suy ra $\hat{A B E} = \hat{D B A}$ do đó BA là phân giác của góc DBE.

Tương tự, DA là phân giác của góc BDE.

Suy ra A là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BDE.

Câu 2

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6, AC = 8, bán kính đường tròn nội tiếp là r, bán kính đường tròn ngoại tiếp là R. Tính $\frac{r}{R}$

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6, AC = 8, bán kính đường tròn nội tiếp là r, bán kính đường tròn ngoại tiếp (ảnh 1)

Tam giác ABC vuông tại A, theo định lí Pythagore, ta có:

BC² = AB² + AC² = 6² + 8² = 100.

Suy ra $B C = \sqrt{100} = 10$

Do đó bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là $R = \frac{B C}{2} = \frac{10}{2} = 5$ .

Lại có $r = \frac{A B + A C - B C}{2}$ (theo kết quả của Ví dụ 4, trang 83, SBT Toán 9, Tập một)

Suy ra $r = \frac{A B + A C - B C}{2}$ $= \frac{6 + 8 - 10}{2} = \frac{4}{2} = 2$ .

Do đó $\frac{r}{R} = \frac{2}{5}$ .

Câu 3

Tìm phát biểu đúng trong các phát biểu sau:

a) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm ba đường phân giác của tam giác đó.

b) Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác đó.

c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có tâm là trung điểm của cạnh huyền.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Trên đường tròn (O) bán kính R, lấy các điểm A, B, C, D sao cho $s đ \overset{⏜}{A B} = 60 °, s đ \overset{⏜}{B C} = 90 °, s đ \overset{⏜}{C D} = 120 °$ (Hình 7).

a) Xác định tâm và tính theo R bán kính đường tròn ngoại tiếp của các tam giác OAB, OBC, OAD, ODC.

b) Gọi I là giao điểm của AC và BD. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của các tam giác IAB, IBC, IAD, IDC.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho tam giác nhọn ABC. Các đường cao BE, CD của tam giác ABC cắt nhau tại K. Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp mỗi tam giác sau:

a) Tam giác BDE;

b) Tam giác DEC;

c) Tam giác ADE.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R.

a) Chứng minh rằng O cũng là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

b) Vẽ tam giác IJK ngoại tiếp đường tròn (O; R) với JK // BC, IJ // AC, IK // AB. Chứng minh tam giác IJK đều.

c) Gọi R’ là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác IJK và r là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Tính $\frac{r}{R'}$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6, AC = 8, bán kính đường tròn nội tiếp là r, bán kính đường tròn ngoại tiếp là R. Tính $\frac{r}{R}$

Cho tam giác nhọn ABC. Các đường cao BE, CD của tam giác ABC cắt nhau tại K. Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp mỗi tam giác sau:

a) Tam giác BDE;

b) Tam giác DEC;

c) Tam giác ADE.