Trên đường tròn (O) bán kính R, lấy các điểm A, B, C, D sao cho $sđ\stackrel{⏜}{AB}=60°, sđ\stackrel{⏜}{BC}=90°, sđ\stackrel{⏜}{CD}=120°$ (Hình 7).

a) Xác định tâm và tính theo R bán kính đường tròn ngoại tiếp của các tam giác OAB, OBC, OAD, ODC.

b) Gọi I là giao điểm của AC và BD. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của các tam giác IAB, IBC, IAD, IDC.

a) ⦁ Gọi G là trọng tâm của tam giác OAB.

Do A, B thuộc đường tròn (O) nên OA = OB = R.

Lại có $sđ\stackrel{⏜}{AB}=60°$ nên $\widehat{AOB}=60°$ (góc ở tâm chắn cung AB của đường tròn (O)).

Do đó, tam giác OAB là tam giác đều với cạnh AB = OA = OB = R nên có tâm đường tròn ngoại tiếp là G và bán kính đường tròn ngoại tiếp là $\frac{R\sqrt{3}}{3}$.

⦁ Do $sđ\stackrel{⏜}{BC}=90°$ nên $\widehat{BOC}=90°$ (góc ở tâm chắn cung BC của đường tròn (O)).

Do đó tam giác OBC vuông tại O, theo định lí Pythagore, ta có:

BC² = OB² + OC²

Suy ra $BC=\sqrt{O{B}^2+O{C}^2}=\sqrt{R^2+R^2}=R\sqrt{2}$ nên tâm, bán kính đường tròn ngoại tiếp của ∆OBC lần lượt là trung điểm E của BC và $\frac{R\sqrt{2}}{2}$.

⦁ Tương tự tâm, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác OAD lần lượt là trung điểm F của AD và $\frac{R\sqrt{2}}{2}$.

⦁ Gọi H là trung điểm của DC và giao điểm của tia OH và cung nhỏ CD là K.

Do $sđ\stackrel{⏜}{CD}={120}^{°}$ nên $\widehat{DOC}=120°$ (góc nội tiếp chắn cung DC của đường tròn (O)).

Trong tam giác ODC cân tại O có OH là trung tuyến nên đồng thời là phân giác của $\widehat{DOC}$.

Suy ra $\widehat{DOH}=\widehat{COH}=\frac{1}{2}\widehat{DOC}=\frac{1}{2}·120°=60°$.

Lại có OD = OK = OC nên ∆DOK, ∆COK là tam giác đều.

Suy ra KD = KO = KC = R.

Vậy tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ODC lần lượt là K và R.

b) Xét ∆OHC vuông tại H có $HC=OC·\sin \widehat{COH}=R·\sin 60°=\frac{R\sqrt{3}}{2}$.

Suy ra $DC=2HC=2·\frac{R\sqrt{3}}{2}=R\sqrt{3}$.

Xét đường tròn (O) có $\widehat{CAB}=\frac{1}{2}sđ\stackrel{⏜}{CB}=\frac{1}{2}·90°=45°$ (góc nội tiếp chắn cung BC).

Ta có $sđ\stackrel{⏜}{AB}+sđ\stackrel{⏜}{BC}+sđ\stackrel{⏜}{CD}+sđ\stackrel{⏜}{DA}=360°$

Suy ra $sđ\stackrel{⏜}{DA}=360°-sđ\stackrel{⏜}{AB}-sđ\stackrel{⏜}{BC}-sđ\stackrel{⏜}{CD}=360°-60°-90°-120°=90°$

Khi đó, $\widehat{DBA}=\frac{1}{2}sđ\stackrel{⏜}{DA}=\frac{1}{2}·90°=45°$ (góc nội tiếp chắn cung DA).

Do đó $\widehat{CAB}=\widehat{DBA}=45°$.

Xét ∆ABI có: $\widehat{IAB}+\widehat{IBA}+\widehat{AIB}=180°$.

Suy ra $\widehat{AIB}=180°-\widehat{IAB}-\widehat{IBA}=180°-45°-45°=90°$.

Hay AC vuông góc với BD.

Do đó ∆IAB vuông tại I, ∆IAD vuông tại I, ∆IBC vuông tại I, ∆IDC vuông tại I.

Mặt khác, AB = R, $BC=AD=R\sqrt{2}$ (chứng minh ở câu a) và $DC=R\sqrt{3}$ do đó bán kính đường tròn ngoại tiếp của các tam giác IAB, IBC, IAD, IDC lần lượt là: $\frac{R}{2}, \frac{R\sqrt{2}}{2}, \frac{R\sqrt{2}}{2},\frac{R\sqrt{3}}{2}.$