Cho mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(0; 1; 1), B(3; 2; 2), C(4; 3; 5).

a) Mặt phẳng (P) có cặp vectơ chỉ phương là \[\overrightarrow {AB} = \left( {3;1;1} \right)\], \[\overrightarrow {AC} = \left( {4;2;4} \right)\].

b) Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow n = \left( {1;4;1} \right)\].

c) Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; 2; 4).

d) Mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng d: \[\frac{{x + 2}}{1} = \frac{y}{{ - 4}} = \frac{{z + 1}}{1}.\]

Bề mặt của lều (S): (x – 3)² + (y – 3)² + (z – 1)² = 9 có tâm I(3; 3; 1), bán kính R = 3.

Gọi d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với (P): x = 2.

Ta có vectơ chỉ phương của d là \[{\overrightarrow a _d} = \left( {1;0;0} \right)\].

Suy ra d có phương trình tham số \[\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 3\\z = 1\end{array} \right.\].

Gọi A(3 + t; 3; 1) là hình chiếu vuông góc của I trên (P). Thay tọa độ điểm A vào phương trình (P): x = 2, ta được (3 + t) – 2 = 0 hay t = −1, suy ra A(2; 3; 1).

Bán kính r₁ của đường tròn có cửa lều là:

r₁ = \[\sqrt {{R^2} - I{A^2}} = \sqrt {9 - 1} = 2\sqrt 2 \].

Vậy đường tròn cửa lều có tâm A(2; 3; 1), bán kính r₁ = \[2\sqrt 2 \].

Gọi d' là đường thẳng đi qua I và vuông góc với (Q): z = 0.

Ta có vectơ chỉ phương của d' là \[{\overrightarrow u _{d'}}\]= (0; 0; 1)

Suy ra d' có phương trình tham số: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 3\\z = 1 + t.\end{array} \right.\]

Gọi B(3; 3; 1 + t) là hình chiếu vuông góc của I trên (Q). Thay tọa độ của điểm B vào phương trình (Q): z = 0 ta được 1 + t = 0, suy ra t = −1, suy ra B(3; 3; 0).

Bán kính r₁ của đường tròn sàn lều là: r₂ = \[\sqrt {{R^2} - I{B^2}} = \sqrt {9 - 1} = 2\sqrt 2 \].

Vậy đường tròn sàn lều có tâm B(3; 3; 0), bán kính r₂ = \[2\sqrt 2 \].

Mặt cầu (S) có phương trình x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (1).

Thay tọa độ bốn đỉnh của tứ diện vào (1), ta được:

\[\left\{ \begin{array}{l}{2^2} + {0^2} + {0^2} - 2a.2 - 2b.0 - 2c.0 + d = 0\\{0^2} + {4^2} + {0^2} - 2a.0 - 2b.4 - 2c.0 + d = 0\\{0^2} + {0^2} + {4^2} - 2a.0 - 2b.0 - 2c.4 + d = 0\\{0^2} + {0^2} + {0^2} - 2a.0 - 2b.0 - 2c.0 + d = 0\end{array} \right.\]

⇔ \[\left\{ \begin{array}{l}4 - 4a + d = 0\\16 - 8b + d = 0\\16 - 8c + d = 0\\d = 0\end{array} \right.\]

⇔ \[\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\\c = 2\\d = 0\end{array} \right.\].

Vậy phương trình của (S) là: x² + y² + z² – 2x – 4y – 4z = 0.