Câu hỏi:

19/09/2024 1,184 Lưu

Cho mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(0; 1; 1), B(3; 2; 2), C(4; 3; 5).

a) Mặt phẳng (P) có cặp vectơ chỉ phương là \[\overrightarrow {AB} = \left( {3;1;1} \right)\], \[\overrightarrow {AC} = \left( {4;2;4} \right)\].

b) Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow n = \left( {1;4;1} \right)\].

c) Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; 2; 4).

d) Mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng d: \[\frac{{x + 2}}{1} = \frac{y}{{ - 4}} = \frac{{z + 1}}{1}.\]

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

a) Đ

b) S

c) Đ

d) S

Mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(0; 1; 1), B(3; 2; 2), C(4; 3; 5) nên có cặp vectơ chỉ phương là \[\overrightarrow {AB} = \left( {3;1;1} \right)\], \[\overrightarrow {AC} = \left( {4;2;4} \right)\].

Ta có: \[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\2&4\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&3\\4&4\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&1\\4&2\end{array}} \right|} \right) = \left( {2; - 8;2} \right) = 2\left( {1; - 4;1} \right)\].

Vậy \[\overrightarrow n = \left( {1; - 4;1} \right)\] là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Phương trình mặt phẳng (P) là:

1(x – 0) – 4(y – 1) + 1(z – 1) = 0 hay x – 4y + z + 3 = 0.

Thay điểm M(1; 2; 4) vào (P), ta được: 1 – 4.2 + 4 + 3 = 0.

Vậy mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; 2; 4).

Đường thẳng d: \[\frac{{x + 2}}{1} = \frac{y}{{ - 4}} = \frac{{z + 1}}{1}\] có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u = \left( {1; - 4;1} \right)\].

Ta có: α = sin(d, (P)) = \[\left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right|\]

             \[ = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {1.1 + \left( { - 4} \right).\left( { - 4} \right) + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {1^2}} }} = 1\].

α = 0°.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Bề mặt của lều (S): (x – 3)2 + (y – 3)2 + (z – 1)2 = 9 có tâm I(3; 3; 1), bán kính R = 3.

Gọi d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với (P): x = 2.

Ta có vectơ chỉ phương của d là \[{\overrightarrow a _d} = \left( {1;0;0} \right)\].

Suy ra d có phương trình tham số \[\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 3\\z = 1\end{array} \right.\].

Gọi A(3 + t; 3; 1) là hình chiếu vuông góc của I trên (P). Thay tọa độ điểm A vào phương trình (P): x = 2, ta được (3 + t) – 2 = 0 hay t = −1, suy ra A(2; 3; 1).

Bán kính r1 của đường tròn có cửa lều là:

r1 = \[\sqrt {{R^2} - I{A^2}} = \sqrt {9 - 1} = 2\sqrt 2 \].

Vậy đường tròn cửa lều có tâm A(2; 3; 1), bán kính r1 = \[2\sqrt 2 \].

Gọi d' là đường thẳng đi qua I và vuông góc với (Q): z = 0.

Ta có vectơ chỉ phương của d'\[{\overrightarrow u _{d'}}\]= (0; 0; 1)

Suy ra d' có phương trình tham số: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 3\\z = 1 + t.\end{array} \right.\]

Gọi B(3; 3; 1 + t) là hình chiếu vuông góc của I trên (Q). Thay tọa độ của điểm B vào phương trình (Q): z = 0 ta được 1 + t = 0, suy ra t = −1, suy ra B(3; 3; 0).

Bán kính r1 của đường tròn sàn lều là: r2 = \[\sqrt {{R^2} - I{B^2}} = \sqrt {9 - 1} = 2\sqrt 2 \].

Vậy đường tròn sàn lều có tâm B(3; 3; 0), bán kính r2 = \[2\sqrt 2 \].

Lời giải

Mặt phẳng (Q) chứa M, N và song song với trục Oy nên có cặp vectơ chỉ phương \[\overrightarrow {MN} = \left( { - 1;1; - 4} \right),\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right)\]. Do đó, mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến là:

\[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow j } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 4}\\1&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 4}&{ - 1}\\0&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&1\\0&1\end{array}} \right|} \right)\] = (4; 0; −1) là vectơ pháp tuyến của (Q).

Vậy phương trình mặt phẳng (Q) là: 4x – z + 1 = 0.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Phương trình nào sau đây không phải là phương trình của một mặt cầu?

A. x2 + y2 + z2 + x – 2y + 4z – 3 = 0.

B. 2x2 + 2y2 + 2z2 – x – y – z = 0.

C. x2 + y2 + z2 – 2x + 4y – 4z + 10 = 0.

D. 2x2 + 2y2 + 2z2 + 4x + 8y + 6z + 3 = 0.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP