Cho điểm M(2; 0; 0) và mặt phẳng (P): 2x – y – 2z + 11 = 0.

a) Điểm A(0; 5; 3) thuộc mặt phẳng (P).

b) d(M, (P)) = \[\frac{5}{9}\].

c) Đường thẳng MA vuông góc với (P).

d) Đường thẳng d: \[\frac{{x - 7}}{1} = \frac{{y - 9}}{{ - 2}} = \frac{{z - 31}}{2}\] song song với (P).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương V có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Đ

b) S

c) S

d) Đ

Thay A(0; 5; 3) vào phương trình mặt phẳng (P), ta có: 2.0 – 5 – 2.3 + 11 = 0.

Do đó, điểm A(0; 5; 3) thuộc mặt phẳng (P).

Ta có: d(M, (P)) = \[ = \frac{{\left| {2.2 - 1.0 - 2.0 + 11} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 5\].

Ta có: \[{\overrightarrow u _{MA}} = \left( { - 2;5;3} \right)\], \[\overrightarrow n = \left( {2; - 1; - 2} \right)\] lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng d và mặt phẳng (P).

Suy ra sin(MA, (P)) = \[\left| {\cos \left( {{{\overrightarrow u }_{MA}},\overrightarrow n } \right)} \right|\]

\[ = \frac{{\left| { - 2.2 + 5.\left( { - 1} \right) + 3.\left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {5^2} + {3^2}} .\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{5\sqrt {38} }}{{38}}\].

Do đó đường thẳng MA không vuông góc với (P).

Đường thẳng d: \[\frac{{x - 7}}{1} = \frac{{y - 9}}{{ - 2}} = \frac{{z - 31}}{2}\] có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u = \left( {1; - 2;2} \right)\] và đi qua điểm I(7; 9; 31).

Xét \[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow n .\overrightarrow u = 2.1 - 1.\left( { - 2} \right) - 2.2 = 0\\2.7 - 9 - 2.31 + 11 = - 46 \ne 0 \Rightarrow M \notin \left( P \right)\end{array} \right.\] ⇒ d song song với (P).

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Người ta muốn thiết kế một lều cắm trại có dạng là một phần mặt cầu bằng phần mềm 3D.

Cho biết phương trình bề mặt của lều là (S): (x – 3)² + (y – 3)² + (z – 1)² = 9, phương trình mặt phẳng chứa cửa lều là (P): x = 2, phương trình chứa sàn lêu là (Q): z = 0. Tìm tâm và bán kính đường tròn cửa lều và đường tròn sàn lều.

Xem đáp án

Lời giải

Bề mặt của lều (S): (x – 3)² + (y – 3)² + (z – 1)² = 9 có tâm I(3; 3; 1), bán kính R = 3.

Gọi d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với (P): x = 2.

Ta có vectơ chỉ phương của d là \[{\overrightarrow a _d} = \left( {1;0;0} \right)\].

Suy ra d có phương trình tham số \[\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 3\\z = 1\end{array} \right.\].

Gọi A(3 + t; 3; 1) là hình chiếu vuông góc của I trên (P). Thay tọa độ điểm A vào phương trình (P): x = 2, ta được (3 + t) – 2 = 0 hay t = −1, suy ra A(2; 3; 1).

Bán kính r₁ của đường tròn có cửa lều là:

r₁ = \[\sqrt {{R^2} - I{A^2}} = \sqrt {9 - 1} = 2\sqrt 2 \].

Vậy đường tròn cửa lều có tâm A(2; 3; 1), bán kính r₁ = \[2\sqrt 2 \].

Gọi d' là đường thẳng đi qua I và vuông góc với (Q): z = 0.

Ta có vectơ chỉ phương của d' là \[{\overrightarrow u _{d'}}\]= (0; 0; 1)

Suy ra d' có phương trình tham số: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 3\\z = 1 + t.\end{array} \right.\]

Gọi B(3; 3; 1 + t) là hình chiếu vuông góc của I trên (Q). Thay tọa độ của điểm B vào phương trình (Q): z = 0 ta được 1 + t = 0, suy ra t = −1, suy ra B(3; 3; 0).

Bán kính r₁ của đường tròn sàn lều là: r₂ = \[\sqrt {{R^2} - I{B^2}} = \sqrt {9 - 1} = 2\sqrt 2 \].

Vậy đường tròn sàn lều có tâm B(3; 3; 0), bán kính r₂ = \[2\sqrt 2 \].

Câu 2

Cho các điểm A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 4). Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC (O là gốc tọa độ).

Xem đáp án

Lời giải

Mặt cầu (S) có phương trình x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (1).

Thay tọa độ bốn đỉnh của tứ diện vào (1), ta được:

\[\left\{ \begin{array}{l}{2^2} + {0^2} + {0^2} - 2a.2 - 2b.0 - 2c.0 + d = 0\\{0^2} + {4^2} + {0^2} - 2a.0 - 2b.4 - 2c.0 + d = 0\\{0^2} + {0^2} + {4^2} - 2a.0 - 2b.0 - 2c.4 + d = 0\\{0^2} + {0^2} + {0^2} - 2a.0 - 2b.0 - 2c.0 + d = 0\end{array} \right.\]

⇔ \[\left\{ \begin{array}{l}4 - 4a + d = 0\\16 - 8b + d = 0\\16 - 8c + d = 0\\d = 0\end{array} \right.\]

⇔ \[\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\\c = 2\\d = 0\end{array} \right.\].

Vậy phương trình của (S) là: x² + y² + z² – 2x – 4y – 4z = 0.

Câu 3