Người ta muốn dựng một khung cổng hình vuông \[ABCD\] có độ dài cạnh bằng \[3{\rm{ cm}}\] được bao bởi một khung thép có dạng nửa đường tròn tâm \(F\) bán kính \[FA\] (như hình 3).

a) Độ dài đoạn thẳng \[OA\] là \(1,5\sqrt 2 \;\,{\rm{m}}\).

b) Độ dài đoạn thẳng \(HG = 3\sqrt 5 \;\,{\rm{m}}\).

c) Độ dài cung \[GAH\] là \(3\sqrt 5 \pi \,\,{\rm{m}}\).

d) Người ta muốn sơn toàn bộ nửa hình tròn (không sơn phần cổng \[ABCD).\] Giá tiền sơn \(30\,\,000\) đồng\({\rm{/}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{.}}\) Biết \(\pi  = 3,14\) kết quả làm tròn đến nghìn đồng. Số tiền sơn là \[1\,\,059\] (nghìn đồng).

Đáp số: \(76{\rm{\;m}}.\)

Ta có \(Bx\) và \(AC\) cùng nằm trên phương ngang nên \(Bx\,{\rm{//}}\,AC,\) do đó \[\widehat {ACB} = \widehat {xBC} = 20^\circ ;\] \(\widehat {ADB} = \widehat {xBD} = 30^\circ \) (các cặp góc so le trong).

Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), ta có \[AC = AB \cdot \cot C = \frac{{AB}}{{\tan C}} = \frac{{75}}{{\tan 20^\circ }}{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\]

Xét tam giác \(ABD\) vuông tại \(A\), ta có \(AD = AB \cdot \cot D = \frac{{AB}}{{\tan D}} = \frac{{75}}{{\tan 30^\circ }}{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Ta có \(CD = AC - AD = \frac{{75}}{{\tan 20^\circ }} - \frac{{75}}{{\tan 30^\circ }} \approx 76{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Vậy con tàu đã đi được xấp xỉ \(76{\rm{\;(m)}}\) giữa hai lần quan sát.

Đáp án:               a) Đúng;         b) Sai;            c) Đúng;         d) Sai.

a) Tổng số quyển vở đã mua là 500 quyển nên \(x + y = 500\).

b) Tổng số tiền nhà trường mua 500 quyển vở là 4 200 000 đồng nên \(8\,\,000x + 9\,\,000y = 4\,\,200\,\,000\) hay \(8x + 9y = 4\,\,200\)

c) Ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 500}\\{8x + 9y = 4\,\,200.}\end{array}} \right.\)

Sử dụng máy tính cầm tay giải hệ phương trình (1) ta được \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 300}\\{y = 200}\end{array}} \right.\) (thỏa mãn điều kiện).

d) Gọi \(u,\,\,v\) lần lượt là số học sinh Xuất sắc và số học sinh Giỏi \(\left( {u,\,\,v \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).

Mỗi học sinh Xuất sắc được thưởng 02 quyển vở loại thứ nhất và 01 quyển vở loại thứ hai nên ta có phương trình \(2u + v = 300.\)

Mỗi học sinh Giỏi được thưởng 01 quyển vở loại thứ nhất và 01 quyển vở loại thứ hai nên ta có phương trình \(u + v = 200.\)

Ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2u + v = 300}\\{u + v = 200}\end{array}} \right.\) (2).

Sử dụng máy tính cầm tay giải hệ phương trình (2) ta được \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{u = 100}\\{v = 100}\end{array}} \right.\) (thỏa mãn điều kiện).

Vậy có tổng \(100 + 100 = 200\) học sinh Xuất sắc và Giỏi, chiếm \(40\% \) tổng số học sinh cả trường.

Do đó, tổng số học sinh của trường là \(200:40\% = 500\) (học sinh).