Câu hỏi:
11/10/2024 7,1961) Một thửa đất có dạng hình chữ nhật, chiều dài hơn chiều rộng 19 m và diện tích bằng \(150\,\,\;{{\rm{m}}^2}.\) Người ta dự định xây bức tường bao quanh thửa đất, xây theo chu vi của thửa đất, trừ 5 m của phần cổng. Biết giá tất cả các chi phí xây bức tường được tính với mỗi mét theo chu vi là 2 triệu đồng. Tính số tiền dự định xây bức tường đó.
2) Cho biểu thức \(P = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} - \frac{2}{{x - 1}}\) (với \(0 \le x \ne 1).\)
Rút gọn biểu thức \(P\) và tìm \(x\) để \(P\) nhận giá trị nguyên.
3) Tháp nghiêng ở thành phố Pisa, Italia nghiêng khoảng \(4^\circ \) so với phương thẳng đứng. Người ta gắn ở mặt ngoài của tháp hai thiết bị tại hai vị trí \(A,\,\,B\) và nối với nhau bởi dây truyền tín hiệu. Tính gần đúng độ dài nhỏ nhất của dây đó, biết \(HB\) gần bằng \(3,146\,\,\;{\rm{m,}}\) với \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên mặt đất (xem hình trên). Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm.
Câu hỏi trong đề: Ôn thi Cấp tốc 789+ vào 10 môn Toán (Đề 4) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
1) Gọi \(x{\rm{\;(m)}}\) là chiều rộng của thửa đất hình chữ nhật \(\left( {x > 0} \right)\).
Chiều dài của thửa đất hình chữ nhật đó là \(x + 19{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)
Diện tích của thửa đất hình chữ nhật đó là: \(x\left( {x + 19} \right){\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)
Theo bài, diện tích thửa đất bằng \(150\,\,\;{{\rm{m}}^2}\) nên ta có phương trình: \(x\left( {x + 19} \right) = 150\)
Giải phương trình:
\(x\left( {x + 19} \right) = 150\)
\({x^2} + 19x - 150 = 0\)
\({x^2} - 6x + 25x - 150 = 0\)
\(x\left( {x - 6} \right) + 25\left( {x - 6} \right) = 0\)
\(\left( {x - 6} \right)\left( {x + 25} \right) = 0\)
\(x - 6 = 0\) hoặc \(x + 25 = 0\)
\(x = 6\) (thỏa mãn) hoặc \(x = - 25\) (không thỏa mãn).
Như vậy, chiều rộng của thửa đất là \(6{\rm{\;m}}\) và chiều dài của thửa đất là \(6 + 19 = 25{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)
Số mét tường cần xây là: \(2 \cdot \left( {6 + 25} \right) - 5 = 57{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)
Số tiền dư định xây bức tường đó là: \(57 \cdot 2 = 114\) (triệu đồng).
2) ⦁ Với \(x \ge 0,\,\,x \ne 1,\) ta có:
\[P = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} - \frac{2}{{x - 1}}\]
\[ = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} - \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} - \frac{2}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\]
\[ = \frac{{x + \sqrt x - \left( {x - \sqrt x } \right) - 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\]\[ = \frac{{x + \sqrt x - x + \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\]
\[ = \frac{{2\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{2\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{2}{{\sqrt x + 1}}.\]
Như vậy, với \(x \ge 0,\,\,x \ne 1\) thì \[P = \frac{2}{{\sqrt x + 1}}.\]
⦁ Với \(x \ge 0,\,\,x \ne 1,\) ta có: \(\sqrt x + 1 > 0\) nên \(\frac{2}{{\sqrt x + 1}} > 0\) tức là \(P > 0.\)
Với \(x \ge 0,\,\,x \ne 1,\) ta cũng có \(\sqrt x + 1 \ge 1\) nên \(\frac{2}{{\sqrt x + 1}} \le 2\) tức là \(P \le 2.\)
Do đó, ta có \(0 < P \le 2.\)
Để \(P\) nhận giá trị nguyên thì \(P \in \left\{ {1;\,\,2} \right\}.\)
Với \(P = 1,\) ta có \[\frac{2}{{\sqrt x + 1}} = 1,\] suy ra \(\sqrt x + 1 = 2\) do đó \(\sqrt x = 1,\) nên \(x = 1\) (không thỏa mãn).
Với \(P = 2,\) ta có \[\frac{2}{{\sqrt x + 1}} = 2,\] suy ra \(\sqrt x + 1 = 1\) do đó \(\sqrt x = 0,\) nên \(x = 0\) (thỏa mãn).
Vậy \(x = 0\) thì \(P\) nhận giá trị nguyên.
3) Độ dài dây \(AB\) nhỏ nhất khi \(A\) và \(B\) có vị trí như hình vẽ.
Xét \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\), ta có: \[HB = AB \cdot \sin \widehat {BAH}\]
Suy ra \[AB = \frac{{HB}}{{\sin \widehat {BAH}}} \approx \frac{{3,146}}{{\sin 4^\circ }} \approx 45,10{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\]
Vậy độ dài dây \(AB\) nhỏ nhất khoảng \(45,10{\rm{\;m}}.\)
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
1) Vì \(AB,\,\,AC\) lần lượt là hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(B,C\) nên \(AB \bot OB,\,\,AC \bot OC.\)
Do \(\Delta OAB\) vuông tại \(B\) nên đường tròn ngoại tiếp tam giác \(\Delta OAB\) có tâm là trung điểm của cạnh huyền \(OA.\) Tức là ba điểm \(O,\,\,A,\,\,B\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(OA.\)
Chứng minh tương tự đối với \(\Delta OAC\) vuông tại \(C\) ta có ba điểm \(O,\,\,A,\,\,C\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(OA.\)
Vậy tứ giác \(ABOC\) nội tiếp đường tròn đường kính \(OA.\)
2) Gọi \(G\) là giao điểm của \(AD\) và \(OE.\) Nối \(CD,\,\,GC.\)
Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(BD\) là đường kính nên \(\widehat {BCD} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Do đó \(\widehat {DCE} = 90^\circ \) nên \(\Delta CDE\) vuông tại \(C,\) chứng minh tương tự câu a, ta có ba điểm \(C,\,\,D,\,\,E\) cùng nằm trên đường tròn đường kính \(DE.\)
Ta có \(OE \bot CD\) tại \(G\) nên \(\widehat {OGA} = \widehat {DGE} = 90^\circ .\)
Tam giác \(DGE\) vuông tại \(G\) nên ba điểm \(D,\,\,G,\,\,E\) cùng nằm trên đường tròn đường kính \(DE.\)
Do đó tứ giác \(CGDE\) nội tiếp đường tròn đường kính \(DE.\)
Suy ra \(\widehat {CDE} = \widehat {CGE}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(CE)\). (1)
Chứng minh tương tự, ta có tứ giác \(OACG\) nội tiếp đường tròn đường kính \(OA.\)
Suy ra \(\widehat {CGO} + \widehat {OAC} = 180^\circ \) (tổng hai góc đối nhau của tứ giác nội tiếp)
Mà \(\widehat {CGO} + \widehat {CGE} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)
Do đó \(\widehat {OAC} = \widehat {CGE}\).
Theo câu a, tứ giác \(ABOC\) nội tiếp đường tròn đường kính \(OA\) nên \[\widehat {OAC} = \widehat {OBC}\] (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(OC)\).
Suy ra \(\widehat {CGE} = \widehat {OBC}\). (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {CDE} = \widehat {OBC}\) hay \(\widehat {CDE} = \widehat {DBC}.\)
Lại có \(\widehat {DBC} + \widehat {BDC} = 90^\circ \) (tổng hai góc nhọn của \(\Delta BCD\) vuông tại \(C)\)
Suy ra \(\widehat {CDE} + \widehat {BDC} = 90^\circ \) hay \(\widehat {ODE} = 90^\circ \)
Do đó \(ED \bot OD\) tại điểm \(D\) thuộc đường tròn \(\left( O \right)\)
Vậy \(ED\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right).\)
Lời giải
Đáp số: \(\frac{3}{{10}}.\)
Gọi \(A,\,\,B\) lần lượt là hai học sinh nam và \(C,\,\,D,\,\,E\) lần lượt là ba học sinh nữ.
Xét phép thử “chọn ngẫu nhiên 2 học sinh của câu lạc bộ”.
Kết quả của phép thử là cặp chữ \(\left( {X,\,\,Y} \right)\) trong đó \(X,\,\,Y\) lần lượt là tên hai học sinh được chọn.
Không gian mẫu của phép thử trên là:
\[\Omega = \left\{ {\left( {A,\,\,B} \right);\,\,\left( {A,\,\,C} \right);\,\,\left( {A,\,\,D} \right);\,\,\left( {A,\,\,E} \right);\,\,\left( {B,\,\,C} \right);\,\,\left( {B,\,\,D} \right);\,\,\left( {B,\,\,E} \right);\,\,\left( {C,\,\,D} \right);\,\,\left( {C,\,\,E} \right);\,\,\left( {D,\,\,E} \right)} \right\}.\]
Không gian mẫu có 10 phần tử.
Gọi \(M\) là biến cố “2 học sinh được chọn đều là học sinh nữ”.
Có 3 kết quả thuận lợi cho biến cố \(M\), đó là: \(\left( {C,\,\,D} \right),\,\,\left( {C,\,\,E} \right),\,\,\left( {D,\,\,E} \right).\)
Xác suất để cả 2 học sinh được chọn đều là học sinh nữ là: \(P\left( M \right) = \frac{3}{{10}}.\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
🔥 Đề thi HOT:
-
123 bài tập Nón trụ cầu và hình khối có lời giải
-
Đề thi minh họa TS vào 10 năm học 2025 - 2026_Môn Toán_Tỉnh Đắk Lắk
-
50 bài tập Một số yếu tố xác suất có lời giải
-
Đề thi tham khảo môn Toán vào 10 tỉnh Quảng Bình năm học 2025-2026
-
Đề thi minh họa TS vào 10 năm học 2025 - 2026_Môn Toán_TP Hà Nội
-
54 bài tập Hàm số bậc hai và giải bài toán bằng cách lập phương trình có lời giải
-
Đề thi minh họa (Dự thảo) TS vào 10 năm học 2025 - 2026_Môn Toán_Tỉnh Đồng Nai
-
Đề thi tham khảo TS vào 10 năm học 2025 - 2026_Môn Toán_Tỉnh Bình Phước