Hai bạn Minh và An xuất phát cùng một lúc từ địa điểm A để đi đến địa điểm B bằng phương tiện xe đạp điện. Mỗi giờ bạn Minh đi nhanh hơn bạn An 2km nên bạn Minh đến B sớm hơn bạn An 2,5 phút. Biết quãng đường AB dài 13km, tính vận tốc xe của mồi người. Hỏi Minh và An đi như vậy có đúng vận tốc quy định hay không nếu căn cứ theo quy định vận tốc tối đa của xe đạp điện là 25 km/h?

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(BD\) là đường kính nên \(\widehat {BCD} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Do đó \(\widehat {DCE} = 90^\circ \) nên \(\Delta CDE\) vuông tại \(C,\) chứng minh tương tự câu a, ta có ba điểm \(C,\,\,D,\,\,E\) cùng nằm trên đường tròn đường kính \(DE.\)

Ta có \(OE \bot CD\) tại \(G\) nên \(\widehat {OGA} = \widehat {DGE} = 90^\circ .\)

Tam giác \(DGE\) vuông tại \(G\) nên ba điểm \(D,\,\,G,\,\,E\) cùng nằm trên đường tròn đường kính \(DE.\)

Do đó tứ giác \(CGDE\) nội tiếp đường tròn đường kính \(DE.\)

Suy ra \(\widehat {CDE} = \widehat {CGE}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(CE)\).   (1)

Chứng minh tương tự, ta có tứ giác \(OACG\) nội tiếp đường tròn đường kính \(OA.\)

Suy ra \(\widehat {CGO} + \widehat {OAC} = 180^\circ \) (tổng hai góc đối nhau của tứ giác nội tiếp)

Mà \(\widehat {CGO} + \widehat {CGE} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

Do đó \(\widehat {OAC} = \widehat {CGE}\).

Theo câu a, tứ giác \(ABOC\) nội tiếp đường tròn đường kính \(OA\) nên \[\widehat {OAC} = \widehat {OBC}\] (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(OC)\).

Suy ra \(\widehat {CGE} = \widehat {OBC}\).  (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {CDE} = \widehat {OBC}\) hay \(\widehat {CDE} = \widehat {DBC}.\)

Lại có \(\widehat {DBC} + \widehat {BDC} = 90^\circ \) (tổng hai góc nhọn của \(\Delta BCD\) vuông tại \(C)\)

Suy ra \(\widehat {CDE} + \widehat {BDC} = 90^\circ \) hay \(\widehat {ODE} = 90^\circ \)

Do đó \(ED \bot OD\) tại điểm \(D\) thuộc đường tròn \(\left( O \right)\)

Vậy \(ED\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right).\)

1) Gọi \(x{\rm{\;(m)}}\) là chiều rộng của thửa đất hình chữ nhật \(\left( {x > 0} \right)\).

Chiều dài của thửa đất hình chữ nhật đó là \(x + 19{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Diện tích của thửa đất hình chữ nhật đó là: \(x\left( {x + 19} \right){\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Theo bài, diện tích thửa đất bằng \(150\,\,\;{{\rm{m}}^2}\) nên ta có phương trình: \(x\left( {x + 19} \right) = 150\)

Giải phương trình:

\(x\left( {x + 19} \right) = 150\)

\({x^2} + 19x - 150 = 0\)

\({x^2} - 6x + 25x - 150 = 0\)

\(x\left( {x - 6} \right) + 25\left( {x - 6} \right) = 0\)

\(\left( {x - 6} \right)\left( {x + 25} \right) = 0\)

\(x - 6 = 0\) hoặc \(x + 25 = 0\)

\(x = 6\) (thỏa mãn) hoặc \(x = - 25\) (không thỏa mãn).

Như vậy, chiều rộng của thửa đất là \(6{\rm{\;m}}\) và chiều dài của thửa đất là \(6 + 19 = 25{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Số mét tường cần xây là: \(2 \cdot \left( {6 + 25} \right) - 5 = 57{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Số tiền dư định xây bức tường đó là: \(57 \cdot 2 = 114\) (triệu đồng).

2) ⦁ Với \(x \ge 0,\,\,x \ne 1,\) ta có:

\[P = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} - \frac{2}{{x - 1}}\]

   \[ = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} - \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} - \frac{2}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\]

   \[ = \frac{{x + \sqrt x - \left( {x - \sqrt x } \right) - 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\]\[ = \frac{{x + \sqrt x - x + \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\]

   \[ = \frac{{2\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{2\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{2}{{\sqrt x + 1}}.\]

Như vậy, với \(x \ge 0,\,\,x \ne 1\) thì \[P = \frac{2}{{\sqrt x + 1}}.\]

⦁ Với \(x \ge 0,\,\,x \ne 1,\) ta có: \(\sqrt x + 1 > 0\) nên \(\frac{2}{{\sqrt x + 1}} > 0\) tức là \(P > 0.\)

Với \(x \ge 0,\,\,x \ne 1,\) ta cũng có \(\sqrt x + 1 \ge 1\) nên \(\frac{2}{{\sqrt x + 1}} \le 2\) tức là \(P \le 2.\)

Do đó, ta có \(0 < P \le 2.\)

Để \(P\) nhận giá trị nguyên thì \(P \in \left\{ {1;\,\,2} \right\}.\)

Với \(P = 1,\) ta có \[\frac{2}{{\sqrt x + 1}} = 1,\] suy ra \(\sqrt x + 1 = 2\) do đó \(\sqrt x = 1,\) nên \(x = 1\) (không thỏa mãn).

Với \(P = 2,\) ta có \[\frac{2}{{\sqrt x + 1}} = 2,\] suy ra \(\sqrt x + 1 = 1\) do đó \(\sqrt x = 0,\) nên \(x = 0\) (thỏa mãn).

Vậy \(x = 0\) thì \(P\) nhận giá trị nguyên.

3) Độ dài dây \(AB\) nhỏ nhất khi \(A\) và \(B\) có vị trí như hình vẽ.

Xét \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\), ta có: \[HB = AB \cdot \sin \widehat {BAH}\]

Suy ra \[AB = \frac{{HB}}{{\sin \widehat {BAH}}} \approx \frac{{3,146}}{{\sin 4^\circ }} \approx 45,10{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\]

Vậy độ dài dây \(AB\) nhỏ nhất khoảng \(45,10{\rm{\;m}}.\)