Câu hỏi:
11/10/2024 191Cho điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn \(\left( O \right)\) vẽ hai tiếp tuyến \(AB,\,\,AC\) lần lượt tại \(B,C\) của \(\left( O \right).\)
1) Chứng minh tứ giác \(ABOC\) nội tiếp đường tròn.
2) Vẽ đường kính \(BD\) của \(\left( O \right),\) đường thẳng đi qua điểm \(O\) vuông góc với \(AD\) cắt đường thẳng \(BC\) tại điểm \(E.\) Chứng minh \(ED\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right).\)
Câu hỏi trong đề:
Ôn thi Cấp tốc 789+ vào 10 môn Toán (Đề 4) !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
1) Vì \(AB,\,\,AC\) lần lượt là hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(B,C\) nên \(AB \bot OB,\,\,AC \bot OC.\)
Do \(\Delta OAB\) vuông tại \(B\) nên đường tròn ngoại tiếp tam giác \(\Delta OAB\) có tâm là trung điểm của cạnh huyền \(OA.\) Tức là ba điểm \(O,\,\,A,\,\,B\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(OA.\)
Chứng minh tương tự đối với \(\Delta OAC\) vuông tại \(C\) ta có ba điểm \(O,\,\,A,\,\,C\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(OA.\)
Vậy tứ giác \(ABOC\) nội tiếp đường tròn đường kính \(OA.\)
2) Gọi \(G\) là giao điểm của \(AD\) và \(OE.\) Nối \(CD,\,\,GC.\)
Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(BD\) là đường kính nên \(\widehat {BCD} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Do đó \(\widehat {DCE} = 90^\circ \) nên \(\Delta CDE\) vuông tại \(C,\) chứng minh tương tự câu a, ta có ba điểm \(C,\,\,D,\,\,E\) cùng nằm trên đường tròn đường kính \(DE.\)
Ta có \(OE \bot CD\) tại \(G\) nên \(\widehat {OGA} = \widehat {DGE} = 90^\circ .\)
Tam giác \(DGE\) vuông tại \(G\) nên ba điểm \(D,\,\,G,\,\,E\) cùng nằm trên đường tròn đường kính \(DE.\)
Do đó tứ giác \(CGDE\) nội tiếp đường tròn đường kính \(DE.\)
Suy ra \(\widehat {CDE} = \widehat {CGE}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(CE)\). (1)
Chứng minh tương tự, ta có tứ giác \(OACG\) nội tiếp đường tròn đường kính \(OA.\)
Suy ra \(\widehat {CGO} + \widehat {OAC} = 180^\circ \) (tổng hai góc đối nhau của tứ giác nội tiếp)
Mà \(\widehat {CGO} + \widehat {CGE} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)
Do đó \(\widehat {OAC} = \widehat {CGE}\).
Theo câu a, tứ giác \(ABOC\) nội tiếp đường tròn đường kính \(OA\) nên \[\widehat {OAC} = \widehat {OBC}\] (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(OC)\).
Suy ra \(\widehat {CGE} = \widehat {OBC}\). (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {CDE} = \widehat {OBC}\) hay \(\widehat {CDE} = \widehat {DBC}.\)
Lại có \(\widehat {DBC} + \widehat {BDC} = 90^\circ \) (tổng hai góc nhọn của \(\Delta BCD\) vuông tại \(C)\)
Suy ra \(\widehat {CDE} + \widehat {BDC} = 90^\circ \) hay \(\widehat {ODE} = 90^\circ \)
Do đó \(ED \bot OD\) tại điểm \(D\) thuộc đường tròn \(\left( O \right)\)
Vậy \(ED\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right).\)
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Hai bạn Minh và An xuất phát cùng một lúc từ địa điểm A để đi đến địa điểm B bằng phương tiện xe đạp điện. Mỗi giờ bạn Minh đi nhanh hơn bạn An 2km nên bạn Minh đến B sớm hơn bạn An 2,5 phút. Biết quãng đường AB dài 13km, tính vận tốc xe của mồi người. Hỏi Minh và An đi như vậy có đúng vận tốc quy định hay không nếu căn cứ theo quy định vận tốc tối đa của xe đạp điện là 25 km/h?
Hai bạn Minh và An xuất phát cùng một lúc từ địa điểm A để đi đến địa điểm B bằng phương tiện xe đạp điện. Mỗi giờ bạn Minh đi nhanh hơn bạn An 2km nên bạn Minh đến B sớm hơn bạn An 2,5 phút. Biết quãng đường AB dài 13km, tính vận tốc xe của mồi người. Hỏi Minh và An đi như vậy có đúng vận tốc quy định hay không nếu căn cứ theo quy định vận tốc tối đa của xe đạp điện là 25 km/h?
Xem đáp án »
13/07/2024
2,011
Câu 2:
Cho a, b là các số thực không âm thỏa mãn a + b = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Xem đáp án »
13/07/2024
1,154
Câu 3:
Một ly rượu bằng thủy tinh phần đựng rượu dạng hình nón có đường kính miệng ly là 9 cm, chiều cao hình nón (như hình vẽ) là 6 cm. Hỏi ly đó có thể chứa đầy được bao nhiêu milliliter (ml) rượu? (Lấy và coi độ dày thành ly là không đáng kể)
Một ly rượu bằng thủy tinh phần đựng rượu dạng hình nón có đường kính miệng ly là 9 cm, chiều cao hình nón (như hình vẽ) là 6 cm. Hỏi ly đó có thể chứa đầy được bao nhiêu milliliter (ml) rượu? (Lấy và coi độ dày thành ly là không đáng kể)
Xem đáp án »
12/07/2024
1,112
Câu 4:
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = 2(m - 1)x - m2 + 3m và Parabol (P): y = x2
a) Với m = 3, tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P)
b) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ là số đo chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật có diện tích bằng (đvdt).
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = 2(m - 1)x - m2 + 3m và Parabol (P): y = x2
a) Với m = 3, tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P)
b) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ là số đo chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật có diện tích bằng (đvdt).
Xem đáp án »
13/07/2024
665
Câu 5:
Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn (O;R) đường kính AB cắt đoạn thẳng BC tại điểm thứ hai là D. Kẻ đường thẳng AH vuông góc với đường thẳng OC tại điểm H; đường thẳng AH cắt đoạn thẳng BC tại điểm M
1) Chứng minh tứ giác ACDH là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh OH.OC = R và tam giác OHB đồng dạng với tam giác OBC
3) Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với BD tại K. Chứng minh HM là tia phân giác của góc DHB và MB.MD = MK.MC
Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn (O;R) đường kính AB cắt đoạn thẳng BC tại điểm thứ hai là D. Kẻ đường thẳng AH vuông góc với đường thẳng OC tại điểm H; đường thẳng AH cắt đoạn thẳng BC tại điểm M
1) Chứng minh tứ giác ACDH là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh OH.OC = R và tam giác OHB đồng dạng với tam giác OBC
3) Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với BD tại K. Chứng minh HM là tia phân giác của góc DHB và MB.MD = MK.MC
Xem đáp án »
12/07/2024
601
Câu 6:
Cho hai biểu thức:
và với
1) Tính giá trị biểu thức A khi x = 9
2) Chứng minh
3) Cho P = A : B Tìm số tự nhiên x để biểu thức P đạt giá trị lớn nhất.
Cho hai biểu thức:
và với
1) Tính giá trị biểu thức A khi x = 9
2) Chứng minh
3) Cho P = A : B Tìm số tự nhiên x để biểu thức P đạt giá trị lớn nhất.
Xem đáp án »
12/07/2024
467
về câu hỏi!