Cho hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}4x + 7y = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ - x - 5y = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right..\] Khi giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số, để được phương trình bậc nhất một ẩn, một trong những cách đơn giản nhất là

Đáp án đúng là: C

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}mx + 2my = m + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\x + \left( {m + 1} \right)y = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\]

Từ phương trình (2), ta có: \[x = 2 - \left( {m + 1} \right)y.\]

Thay \[x = 2 - \left( {m + 1} \right)y\] vào phương trình (1), ta được:

\[m\left[ {2 - \left( {m + 1} \right)y} \right] + 2my = m + 1\]

\[2m - \left( {{m^2} + m} \right)y + 2my = m + 1\]

\[\left( { - {m^2} + m} \right)y = - m + 1\]

\[ - m\left( {m - 1} \right)y = - \left( {m - 1} \right)\]

Để phương trình có nghiệm duy nhất thì \[m \ne 0\] và \[m \ne 1.\]

Khi đó ta có \[y = \frac{{ - \left( {m - 1} \right)}}{{ - m\left( {m - 1} \right)}} = \frac{1}{m}.\]

Suy ra \[x = 2 - \left( {m + 1} \right) \cdot \frac{1}{m} = \frac{{2m - m - 1}}{m} = \frac{{m - 1}}{m}.\]

Vì vậy \[A = x - y = \frac{{m - 1}}{m} - \frac{1}{m} = 1 - \frac{1}{m} - \frac{1}{m} = 1 - \frac{2}{m}.\]

Với \(m \in \mathbb{Z},\) để biểu thức \[A\] nhận giá trị nguyên thì \[\frac{2}{m}\] nhận giá trị nguyên.

Suy ra \[m \in \]Ư\[\left( 2 \right) = \left\{ { - 2; - 1;1;2} \right\}.\]

So với điều kiện \[m \ne 0\] và \[m \ne 1,\] ta nhận \[m \in \left\{ { - 2; - 1;2} \right\}.\]

Vậy có 3 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu đề bài, ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: B

Từ phương trình thứ nhất của hệ, ta có \(xy + x - y - 1 = xy - 2\) suy ra \(x - y = - 1.\)

Từ phương trình thứ nhất của hệ, ta có \(xy - x + 2y - 2 = xy + 6\) suy ra \( - x + 2y = 8.\)

Khi đó, ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}x - y = - 1\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ - x + 2y = 8\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\]

Sử dụng máy tính cầm tay, ta lần lượt bấm các phím theo thứ tự:

$\boxed{\text{\hspace{0.17em}MODE\hspace{0.17em}}}\boxed{5}\boxed{1}\boxed{1}\boxed{=}\boxed{-}\boxed{1}\boxed{=}\boxed{-}\boxed{1}\boxed{=}\boxed{-}\boxed{1}\boxed{=}\boxed{2}\boxed{=}\boxed{8}\boxed{=}\boxed{=}$

Trên màn hình hiện ra kết quả \(x = 6,\) ấn thêm phím = ta thấy màn hình hiện kết quả \(y = 7.\)

Như vậy, hệ phương trình đã cho có nghiệm là \(\left( {6;\,\,7} \right)\).

Khi đó, \[{x^2} + {y^2} = {6^2} + {7^2} = 85.\]