Cho đa thức \(f(x) = {(1 + 3x)^n} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} +  \cdots  + {a_n}{x^n}\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\). Tìm hệ số \({a_3}\), biết rằng \({a_1} + 2{a_2} +  \cdots  + n{a_n} = 49152n\).

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 6y + m = 0\) (\(m\) là tham số) và đường thẳng \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 4 + 2t}\\{y = 3 + t}\\{z = 3 + 2t}\end{array}} \right.\). Biết đường thẳng \(\Delta \) cắt mặt cầu \((S)\) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho \(AB = 8.\) Giá trị của tham số \(m\) thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây? 

Một loại vi khuẩn sau mỗi phút số lượng tăng gấp đôi biết rằng sau 5 phút người ta đếm được có 64000 con. Hỏi sau bao nhiêu phút thì có được 2048000 con?

Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 mét xuống một mặt sàn. Sau mỗi lần chạm sàn, quả bóng nảy lên độ cao bằng \(\frac{2}{3}\) độ cao trước đó. Giả sử rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt sàn và quá trình này tiếp diễn vô hạn lần. Tổng các quãng đường khi rơi và nảy của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy lên nữa là

Chia ngẫu nhiên 20 hộp bánh giống nhau thành 4 phần quà (phần nào cũng có bánh). Có bao nhiêu cách chia để mỗi phần quà đều có ít nhất 3 hộp bánh.