Cho các hàm số \(y = f\left( x \right),y = f\left( {f\left( x \right)} \right),y = f\left( {4 - 2x} \right)\) có đồ thị lần lượt là (C₁), (C₂), (C₃). Đường thẳng \(x = 1\) cắt (C₁), (C₂), (C₃) lần lượt tại M, N, P. Biết tiếp tuyến của (C₁) tại M có phương trình là \(y = 3x - 1\), tiếp tuyến của (C₂) tại N có phương trình là \(y = x + 1\). Phương trình tiếp tuyến của (C₃) tại P là:    

- Xét hàm số \(y = f\left( x \right);y' = f'\left( x \right)\).

Theo giả thiết ta có \(M\left( {1;f\left( 1 \right)} \right)\),  phương trình tiếp tuyến của (C₁) tại M:\(y - f\left( 1 \right) = f'\left( 1 \right)\left( {x - 1} \right)\).

Mà theo giả thiết tiếp tuyến tại M có phương trình \(y = 3x - 1\)\( \Rightarrow f'\left( 1 \right) = 3\) (1).

Từ đó ta có: \(y - f\left( 1 \right) = 3\left( {x - 1} \right)\) \( \Leftrightarrow y = 3x - 3 + f\left( 1 \right)\)\( \Rightarrow - 3 + f\left( 1 \right) = - 1 \Leftrightarrow f\left( 1 \right) = 2\)(2).

- Xét hàm số \(y = f\left( {f\left( x \right)} \right),y' = f'\left( x \right).f'\left( {f\left( x \right)} \right)\).

Theo giả thiết ta có \(N\left( {1;f\left( {f\left( 1 \right)} \right)} \right)\),

Phương trình tiếp tuyến của (C₂) tại N: \(y - f\left( {f\left( 1 \right)} \right) = f'\left( 1 \right).f'\left( {f\left( 1 \right)} \right)\left( {x - 1} \right)\).

Mà theo giả thiết tiếp tuyến tại N có phương trình là \(y = x + 1\) \( \Rightarrow f'\left( 1 \right).f'\left( {f\left( 1 \right)} \right) = 1\)(∗)

Từ đó ta có: \(y - f\left( {f\left( 1 \right)} \right) = x - 1\) \( \Leftrightarrow y = x - 1 + f\left( {f\left( 1 \right)} \right)\).

Mà \(f\left( 1 \right) = 2\) nên \(y = x - 1 + f\left( 2 \right)\).

Áp dụng giả thiết ta có \(x - 1 + f\left( 2 \right) = x + 1 \Rightarrow f\left( 2 \right) = 2\) (3).

Từ (∗): \(f'\left( 1 \right).f'\left( {f\left( 1 \right)} \right) = 1\), theo (1) và (2) ta được: \(3.f'\left( 2 \right) = 1 \Rightarrow f'\left( 2 \right) = \frac{1}{3}\) (4).

- Xét hàm số \(y = f\left( {4 - 2x} \right),y' = - 2f'\left( {4 - 2x} \right)\).

Từ giả thiết ta có \(P\left( {1;f\left( {4 - 2.1} \right)} \right) = P\left( {1;f\left( 2 \right)} \right)\).

Khi đó phương trình tiếp tuyến tại P là: \(y - f\left( 2 \right) = - 2f'\left( 2 \right)\left( {x - 1} \right)\).

Từ (3), (4) ta có \(y - 2 = - 2.\frac{1}{3}.\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow y = - \frac{2}{3}x + \frac{8}{3}\). Chọn C.