Một bộ pha trà bằng thủy tinh có bình tổng và các tách đều là dạng hình trụ. Bình tổng có chiều cao gấp đôi đường kính đáy, tách trà có bán kính đáy bằng một nửa bán kính đáy bình tổng và có chiều cao bằng một phần ba chiều cao bình tổng. Có ba người ngồi thưởng trà, mỗi lượt người thưởng trà chỉ uống vừa đúng ba phần tư lượng nước có trong chén trà rồi lại châm thêm nước trà từ bình tổng vào chén.

Hỏi sau mấy lần rót nước trà vào các chén thì hết nước trà trong bình tổng, biết rằng thể tích nước trà ban đầu có trong bình tổng chiếm ba phần tư thể tích của bình và mỗi lần rót trà thì chỉ rót vừa đủ ba phần tư thể tích của chén trà.

Số phần tử của tập S là \({9.10^5}\).

Xét phép thử: “Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S”.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = {9.10^5}\).

Gọi B là biến cố “Số được chọn có tích các chữ số bằng 1400”

Ta có 1400 = 2³.5².7 = 2.2.2.5.5.7 = 1.2.4.5.5.7 = 1.1.8.5.5.7 nên số có 6 chữ có tích bằng 1400 có thể được lập bởi các trường hợp sau:

TH1. Số được lập từ bộ thứ nhất 2, 2, 2, 5, 5, 7 ; có tất cả \(\frac{{6!}}{{3!.2!}} = 60\).

TH2. Số được lập từ bộ thứ hai 1, 2, 4, 5, 5, 7; có tất cả \(\frac{{6!}}{{2!}} = 360\).

TH3. Số được lập từ bộ thứ hai 1, 1, 8, 5, 5, 7; có tất cả \(\frac{{6!}}{{2!.2!}} = 180\).

Do đó có tất cả 60 + 360 + 180 = 600 số có 6 chữ số và tích các chữ số bằng 1400.

Suy ra \(n\left( B \right) = C_{600}^1 = 600\).

Vậy xác suất cần tìm là \(P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{600}}{{{{9.10}^5}}} = \frac{1}{{1500}}\). Chọn B.

+) Gọi P là trung điểm đọan AN.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CN//PM\\PM \subset \left( {DMP} \right)\end{array} \right. \Rightarrow CN//\left( {DMP} \right)\).

Suy ra \(d\left( {CN,DM} \right) = d\left( {CN,\left( {DMP} \right)} \right) = d\left( {N,\left( {DMP} \right)} \right)\)\( = d\left( {A,\left( {DMP} \right)} \right)\).

+) Khi đó \(\frac{{{V_{A.DMP}}}}{{{V_{A.BCD}}}} = \frac{{AP}}{{AB}}.\frac{{AM}}{{AC}}.\frac{{AD}}{{AD}} = \frac{1}{8}\), mà tứ diện ABCD đều nên \({V_{A.BCD}} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\).

\( \Rightarrow {V_{A.DMP}} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{96}} \Rightarrow \frac{1}{3}d\left( {A,\left( {DMP} \right)} \right).{S_{\Delta DMP}} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{96}}\).

+) Lại có \(\Delta ADC\) đều nên \(DM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\), \(\Delta ABC\) đều nên \(CN = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow MP = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\).

Xét tam giác DPA có \(D{P^2} = A{D^2} + A{P^2} - 2AD.AP.\cos \widehat {PAD} = {a^2} + {\left( {\frac{a}{4}} \right)^2} - 2.a.\frac{a}{4}.\cos 60^\circ = \frac{{13{a^2}}}{{16}}\)

\( \Rightarrow DP = \frac{{a\sqrt {13} }}{4}\).

Nửa chu vi tam giác DMP là: \(p = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2} + \frac{{a\sqrt 3 }}{4} + \frac{{a\sqrt {13} }}{4}}}{2} = \frac{{a\left( {\sqrt {13} + 3\sqrt 3 } \right)}}{8}\).

\( \Rightarrow {S_{\Delta DMP}} = \sqrt {p\left( {p - DM} \right)\left( {p - MP} \right)\left( {p - DP} \right)} = \frac{{{a^2}\sqrt {35} }}{{32}}\).

Vậy \(d\left( {A,\left( {DMP} \right)} \right) = \frac{{\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{96}}}}{{\frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt {35} }}{{32}}}} = \frac{{a\sqrt {70} }}{{35}} \Rightarrow d\left( {CN,DM} \right) = \frac{{a\sqrt {70} }}{{35}}\). Chọn D.