Người ta muốn làm giá đỡ cho quả cầu bằng ngọc có bán kính r sao cho phần quả cầu bị khuất chiếm \(\frac{1}{6}\) quả cầu theo chiều cao của nó. Biết giá đỡ hình trụ và rỗng phía trong. Tính bán kính mặt trong của giá đỡ.

Anh sinh viên vay hàng tháng a = 3 triệu đồng từ tháng 9/2020 đến hết tháng 8/2022, tổng cộng 24 tháng.

Cuối tháng thứ 1: \({T_1} = a + ar = a\left( {1 + r} \right)\).

Cuối tháng thứ 2: \({T_2} = {T_1} + a + \left( {{T_1} + a} \right).r = a.{\left( {1 + r} \right)^2} + a.\left( {1 + r} \right)\).

Tiếp tục như vậy đến cuối tháng n: \({T_n} = a.{\left( {1 + r} \right)^n} + a{\left( {1 + r} \right)^{n - 1}} + ... + a.\left( {1 + r} \right)\).

Suy ra \({T_n} = a.\left( {1 + r} \right).\frac{{{{\left( {1 + r} \right)}^n} - 1}}{r}\).

Vậy tổng số tiền vay đến cuối tháng 8/2022 là

\({T_{24}} = 3.\left( {1 + 0,8\% } \right).\frac{{{{\left( {1 + 0,8\% } \right)}^{24}} - 1}}{{0,8\% }} \approx 79,662\) triệu.

Tính từ cuối tháng 8/2022 anh sinh viên T thiếu ngân hàng A = 79,662 triệu và bắt đầu trả hàng tháng \(m = 2\) triệu từ tháng 9/2022 đến tháng 6/2024, tổng cộng được 22 tháng.

Đầu tháng 9/2022, còn nợ A – m = 79,662 – 2 = 77,662 triệu.

Cuối tháng 9/2022, tiền nợ có lãi đến cuối tháng \({T_1} = 77,662\left( {r + 1} \right)\).

Đầu tháng 10/2022 sau khi trả nợ m thì còn nợ 77,662(r + 1) – m.

Cuối tháng 10/2022, còn nợ \({T_2} = \left[ {\left( {77,662} \right)\left( {r + 1} \right) - m} \right]\left( {1 + r} \right) = 77,662{\left( {1 + r} \right)^2} - m\left( {1 + r} \right)\)

Cuối tháng 11/2022, còn nợ \({T_3} = 77,662{\left( {1 + r} \right)^3} - m{\left( {1 + r} \right)^2} - m\left( {1 + r} \right)\).

Tiếp tục như vậy đến cuối tháng 6/2024 còn nợ

\({T_{22}} = 77,662{\left( {1 + r} \right)^{22}} - m{\left( {1 + r} \right)^{21}} - m{\left( {1 + r} \right)^{20}} - ... - m\left( {1 + r} \right)\)

\( = 77,662{\left( {1 + r} \right)^{22}} - m.\left( {1 + r} \right).\frac{{{{\left( {1 + r} \right)}^{21}} - 1}}{r}\)

\( = 77,662.{\left( {1 + 0,8\% } \right)^{22}} - 2.\left( {1 + 0,8\% } \right).\frac{{{{\left( {1 + 0,8\% } \right)}^{21}} - 1}}{{0,8\% }} \approx 46,64\) triệu đồng. Chọn B.

Từ bảng biến thiên ta thấy:

+ Hàm số có 2 điểm cực trị là \(x = 1\) và \(x = 3\).

+ \(f'\left( x \right) < 0\) với \(x \in \left( {1;3} \right)\) nên hàm số nghịch biến trên \(\left( {1;3} \right)\) suy ra hàm số nghịch biến trên \(\left( {2;3} \right)\) (do \(\left( {2;3} \right) \subset \left( {1;3} \right)\) ).

+ Hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên \(\mathbb{R}\) (do khi \(x \to - \infty \) thì \(f\left( x \right) \to - \infty \)).

+ \(f'\left( x \right)\) đổi dấu từ dương sang âm khi qua \(x = 1\) nên \(x = 1\) là điểm cực đại của hàm số.

Do đó ta chọn đáp án như sau