Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) sao cho hai tia AB và DC cắt nhau tại điểm K, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại điểm H. Kí hiệụ $\stackrel{⏜}{AD}$ là cung AD không chứa B và $\stackrel{⏜}{BC}$ là cung BC không chứa A. Chứng minh rằng:

a) $\widehat{BKC}=\frac{1}{2}\left(sđ\stackrel{⏜}{AD}-sđ\stackrel{⏜}{BC}\right)$;

b) $\widehat{BHC}=\frac{1}{2}\left(sđ\stackrel{⏜}{AD}+sđ\stackrel{⏜}{BC}\right)$.

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) sao cho hai tia AB và DC cắt nhau tại điểm I. Chứng minh rằng:

a) ∆IAD ᔕ ∆ICB; ∆IAC ᔕ ∆IDB;

b) $\frac{IC}{ID}=\frac{AC}{AD}.\frac{BC}{BD}$.

Hãy cho biết số đo các góc của tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) trong mỗi trường hợp sau:

a) $\widehat{AOB}=100°$; $\widehat{BOC}=120°$;$\widehat{COD}=70°$.

b) $\widehat{BOC}=110°$; $\widehat{COD}=70°$;$\widehat{DOA}=100°$.

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại điểm E. Tính số đo các góc của tứ giác ABCD, biết rằng $\widehat{AEB}=80°$; $\widehat{ABE}=70°$ và $\widehat{ECB}=50°$.

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại điểm J. Chứng minh rằng:

a) ∆JAD ᔕ ∆JBC; ∆JAB ᔕ ∆JDC;

b) $\frac{JA}{JC}=\frac{BA}{BC}\cdot \frac{DA}{DC}$.

Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao BE, CF. Một đường tròn (O) đi qua hai điểm E, F và cắt các tia đối của hai tia BF, CE lần lượt tại X và Y. Chứng minh rằng XY song song với BC.

Hãy cho biết số đo các góc còn lại của tứ giác nội tiếp ABCD trong mỗi trường hợp sau:

a) $\widehat{A}=80°$; $\widehat{B}=120°$;     

b) $\widehat{B}=70°$; $\widehat{C}=110°$;

c) $\widehat{C}=110°$; $\widehat{D}=60°$;     

d) $\widehat{D}=65°$; $\widehat{A}=130°$.