Cho hình lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\) có độ dài tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm AB và N là điểm thuộc cạnh AC sao cho CN = 2AN. Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, M, N, \(A'\), \(B'\) và \(C'\) bằng:
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Gọi V là thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, M, N, \(A'\), \(B'\) và \(C'\).
Khi đó ta có \(V = {V_{M.A'AN}} + {V_{M.A'C'N}} + {V_{M.A'B'C'}}\)
Từ giả thiết ta có
\({S_{\Delta A'AN}} = \frac{1}{2}AA'.AN = \frac{1}{2}.a.\frac{a}{3} = \frac{{{a^2}}}{6};\,{S_{\Delta A'C'N}} = \frac{1}{2}d\left( {N,A'C'} \right).A'C' = \frac{1}{2}.a.a = \frac{{{a^2}}}{2};\)
\({S_{\Delta A'B'C'}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\) .
Gọi H là trung điểm của \(AC \Rightarrow BH \bot \left( {ACC'A'} \right)\) và \(BH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) .
\( \Rightarrow d\left( {M,\left( {ACC'A'} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {B,\left( {ACC'A'} \right)} \right) = \frac{1}{2}BH = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}.\)
Khi đó ta có
\({V_{M.A'AN}} = \frac{1}{3}d\left( {M;\left( {ACC'A'} \right)} \right).{S_{\Delta A'AN}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{4}.\frac{{{a^2}}}{6} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{72}}.\)
\(\begin{array}{l}{V_{M.A'C'N}} = \frac{1}{3}d\left( {M,\left( {ACC'A'} \right)} \right).{S_{\Delta A'C'N}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{4}.\frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}.\\{V_{M.A'B'C'}} = \frac{1}{3}d\left( {M,\left( {A'B'C'} \right)} \right).{S_{\Delta A'B'C'}} = \frac{1}{3}.a.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}.\end{array}\)
Vậy \(V = {V_{M.A'AN}} + {V_{M.A'C'N}} + {V_{M.A'B'C'}} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{72}} + \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}} + \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}} = \frac{{5\sqrt 3 {a^3}}}{{36}}\). Chọn C.
Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
Lời giải
Giả sử \(A\left( {a;0;0} \right) \in Ox,\,\,B\left( {0;b;0} \right) \in Oy,\,C\left( {0;0;c} \right) \in Oz\) và \(\left( {a,b,c > 0} \right)\).
Ta có \(OA + OB + OC = a + b + c\).
Phương trình mặt phẳng (P) có dạng: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\).
Ta có \(M\left( {1;4;9} \right) \in \left( P \right) \Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c} = 1\). Do đó
\(\begin{array}{l}\left( {\frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c}} \right)\left( {a + b + c} \right) = \left( {{{\left( {\sqrt {\frac{1}{a}} } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt {\frac{4}{b}} } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt {\frac{9}{c}} } \right)}^2}} \right)\left( {{{\left( {\sqrt a } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt b } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt c } \right)}^2}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \ge {\left( {1 + 2 + 3} \right)^2} \Rightarrow a + b + c \ge {\left( {1 + 2 + 3} \right)^2}.\end{array}\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c} = 1\\\frac{1}{a} = \frac{2}{b} = \frac{3}{c}\\a + b + c = {\left( {1 + 2 + 3} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 6\\b = 12\\c = 18\end{array} \right. \Rightarrow \left( P \right):\frac{x}{6} + \frac{y}{{12}} + \frac{z}{{18}} = 1\).
Vậy mặt phẳng (P) đi qua điểm (6; 0; 0). Chọn B.
Lời giải
Số trang có 1 chữ số: 9 trang.
Số trang có 2 chữ số: 90 trang.
Số trang có 3 chữ số: 900 trang.
Số trang có 4 chữ số: 9000 trang.
Ta có: 2023 = 9 + 90 + 900 + 1024.
Số chữ số để đánh số trang là: 9.1+90.2+900.3+1024.4 = 6985.
Do đó ta điền như sau
Đánh số trang của một quyển sách từ trang 1 đến trang 2023.
Cần dùng 6985 chữ số để đánh số trang của quyển sách đó.
Câu 3
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập