Cho tứ diện ABCD có \(\widehat {ABC} = \widehat {ADC} = \widehat {BCD} = 90^\circ \), \(BC = 2a,CD = a,\) góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD) bằng \(60^\circ \). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD.    

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (BCD).

Do \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot AH,(do\,\,AH \bot \left( {BCD} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow BC \bot \left( {ABH} \right) \Rightarrow BC \bot BH\left( 1 \right)\).

Tương tự \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AD\\CD \bot AH,\left( {do\,\,AH \bot \left( {BCD} \right)} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow CD \bot \left( {ADH} \right) \Rightarrow CD \bot DH\left( 2 \right)\).

Ta có \(\widehat {BCD} = 90^\circ \left( 3 \right)\).

Từ (1), (2), (3) nên tứ giác HBCD là hình chữ nhật có \(BC = HD = 2a;HB = DC = a\) và \(\left( {AB,\left( {BCD} \right)} \right) = \left( {AB,BH} \right) = \widehat {ABH} = 60^\circ \).

Xét \(\Delta AHB\) vuông tại H, có \(AH = HB.\tan 60^\circ = a\sqrt 3 \).

Gọi E là đỉnh của hình bình hành BDCE.

Khi đó \(d\left( {AC,BD} \right) = d\left( {BD,\left( {AEC} \right)} \right) = d\left( {B,\left( {AEC} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {H,\left( {AEC} \right)} \right)\).

Gọi HN là đường cao tam giác HEC, HK là đường cao tam giác AHN.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CE \bot HN\\CE \bot AH,\,(do\,AH \bot \left( {BCD} \right))\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow CE \bot \left( {AHN} \right) \Rightarrow CE \bot HK\) và \(AN \bot HK\) nên \(HK \bot \left( {AEC} \right)\).

Vậy \(d\left( {AC,BD} \right) = \frac{1}{2}d\left( {H,\left( {ACE} \right)} \right) = \frac{1}{2}HK\).

Trong \(\Delta HEC\) có \(HE.BC = EC.HN \Rightarrow HN = \frac{{HE.BC}}{{EC}} = \frac{{4a}}{{\sqrt 5 }}.\)

Trong \(\Delta AHN\)có \(\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{H{A^2}}} + \frac{1}{{H{N^2}}} = \frac{1}{{3{a^2}}} + \frac{5}{{16{a^2}}} = \frac{{31}}{{48{a^2}}} \Rightarrow HK = \frac{{4\sqrt 3 a}}{{\sqrt {31} }}\).

Vậy \(d\left( {AC,BD} \right) = \frac{1}{2}HK = \frac{{2\sqrt 3 a}}{{\sqrt {31} }}.\) Chọn C.