Cho tứ diện ABCD có \(\widehat {ABC} = \widehat {ADC} = \widehat {BCD} = 90^\circ \), \(BC = 2a,CD = a,\) góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD) bằng \(60^\circ \). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (BCD).
Do \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot AH,(do\,\,AH \bot \left( {BCD} \right)\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow BC \bot \left( {ABH} \right) \Rightarrow BC \bot BH\left( 1 \right)\).
Tương tự \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AD\\CD \bot AH,\left( {do\,\,AH \bot \left( {BCD} \right)} \right)\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow CD \bot \left( {ADH} \right) \Rightarrow CD \bot DH\left( 2 \right)\).
Ta có \(\widehat {BCD} = 90^\circ \left( 3 \right)\).
Từ (1), (2), (3) nên tứ giác HBCD là hình chữ nhật có \(BC = HD = 2a;HB = DC = a\) và \(\left( {AB,\left( {BCD} \right)} \right) = \left( {AB,BH} \right) = \widehat {ABH} = 60^\circ \).
Xét \(\Delta AHB\) vuông tại H, có \(AH = HB.\tan 60^\circ = a\sqrt 3 \).
Gọi E là đỉnh của hình bình hành BDCE.
Khi đó \(d\left( {AC,BD} \right) = d\left( {BD,\left( {AEC} \right)} \right) = d\left( {B,\left( {AEC} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {H,\left( {AEC} \right)} \right)\).
Gọi HN là đường cao tam giác HEC, HK là đường cao tam giác AHN.
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CE \bot HN\\CE \bot AH,\,(do\,AH \bot \left( {BCD} \right))\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow CE \bot \left( {AHN} \right) \Rightarrow CE \bot HK\) và \(AN \bot HK\) nên \(HK \bot \left( {AEC} \right)\).
Vậy \(d\left( {AC,BD} \right) = \frac{1}{2}d\left( {H,\left( {ACE} \right)} \right) = \frac{1}{2}HK\).
Trong \(\Delta HEC\) có \(HE.BC = EC.HN \Rightarrow HN = \frac{{HE.BC}}{{EC}} = \frac{{4a}}{{\sqrt 5 }}.\)
Trong \(\Delta AHN\)có \(\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{H{A^2}}} + \frac{1}{{H{N^2}}} = \frac{1}{{3{a^2}}} + \frac{5}{{16{a^2}}} = \frac{{31}}{{48{a^2}}} \Rightarrow HK = \frac{{4\sqrt 3 a}}{{\sqrt {31} }}\).
Vậy \(d\left( {AC,BD} \right) = \frac{1}{2}HK = \frac{{2\sqrt 3 a}}{{\sqrt {31} }}.\) Chọn C.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Giả sử \(A\left( {a;0;0} \right) \in Ox,\,\,B\left( {0;b;0} \right) \in Oy,\,C\left( {0;0;c} \right) \in Oz\) và \(\left( {a,b,c > 0} \right)\).
Ta có \(OA + OB + OC = a + b + c\).
Phương trình mặt phẳng (P) có dạng: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\).
Ta có \(M\left( {1;4;9} \right) \in \left( P \right) \Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c} = 1\). Do đó
\(\begin{array}{l}\left( {\frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c}} \right)\left( {a + b + c} \right) = \left( {{{\left( {\sqrt {\frac{1}{a}} } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt {\frac{4}{b}} } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt {\frac{9}{c}} } \right)}^2}} \right)\left( {{{\left( {\sqrt a } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt b } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt c } \right)}^2}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \ge {\left( {1 + 2 + 3} \right)^2} \Rightarrow a + b + c \ge {\left( {1 + 2 + 3} \right)^2}.\end{array}\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c} = 1\\\frac{1}{a} = \frac{2}{b} = \frac{3}{c}\\a + b + c = {\left( {1 + 2 + 3} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 6\\b = 12\\c = 18\end{array} \right. \Rightarrow \left( P \right):\frac{x}{6} + \frac{y}{{12}} + \frac{z}{{18}} = 1\).
Vậy mặt phẳng (P) đi qua điểm (6; 0; 0). Chọn B.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Số trang có 1 chữ số: 9 trang.
Số trang có 2 chữ số: 90 trang.
Số trang có 3 chữ số: 900 trang.
Số trang có 4 chữ số: 9000 trang.
Ta có: 2023 = 9 + 90 + 900 + 1024.
Số chữ số để đánh số trang là: 9.1+90.2+900.3+1024.4 = 6985.
Do đó ta điền như sau
Đánh số trang của một quyển sách từ trang 1 đến trang 2023.
Cần dùng 6985 chữ số để đánh số trang của quyển sách đó.
Câu 3
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập