Cho tứ diện ABCD có \(\widehat {ABC} = \widehat {ADC} = \widehat {BCD} = 90^\circ \), \(BC = 2a,CD = a,\) góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD) bằng \(60^\circ \). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (BCD).
Do \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot AH,(do\,\,AH \bot \left( {BCD} \right)\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow BC \bot \left( {ABH} \right) \Rightarrow BC \bot BH\left( 1 \right)\).
Tương tự \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AD\\CD \bot AH,\left( {do\,\,AH \bot \left( {BCD} \right)} \right)\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow CD \bot \left( {ADH} \right) \Rightarrow CD \bot DH\left( 2 \right)\).
Ta có \(\widehat {BCD} = 90^\circ \left( 3 \right)\).
Từ (1), (2), (3) nên tứ giác HBCD là hình chữ nhật có \(BC = HD = 2a;HB = DC = a\) và \(\left( {AB,\left( {BCD} \right)} \right) = \left( {AB,BH} \right) = \widehat {ABH} = 60^\circ \).
Xét \(\Delta AHB\) vuông tại H, có \(AH = HB.\tan 60^\circ = a\sqrt 3 \).
Gọi E là đỉnh của hình bình hành BDCE.
Khi đó \(d\left( {AC,BD} \right) = d\left( {BD,\left( {AEC} \right)} \right) = d\left( {B,\left( {AEC} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {H,\left( {AEC} \right)} \right)\).
Gọi HN là đường cao tam giác HEC, HK là đường cao tam giác AHN.
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CE \bot HN\\CE \bot AH,\,(do\,AH \bot \left( {BCD} \right))\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow CE \bot \left( {AHN} \right) \Rightarrow CE \bot HK\) và \(AN \bot HK\) nên \(HK \bot \left( {AEC} \right)\).
Vậy \(d\left( {AC,BD} \right) = \frac{1}{2}d\left( {H,\left( {ACE} \right)} \right) = \frac{1}{2}HK\).
Trong \(\Delta HEC\) có \(HE.BC = EC.HN \Rightarrow HN = \frac{{HE.BC}}{{EC}} = \frac{{4a}}{{\sqrt 5 }}.\)
Trong \(\Delta AHN\)có \(\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{H{A^2}}} + \frac{1}{{H{N^2}}} = \frac{1}{{3{a^2}}} + \frac{5}{{16{a^2}}} = \frac{{31}}{{48{a^2}}} \Rightarrow HK = \frac{{4\sqrt 3 a}}{{\sqrt {31} }}\).
Vậy \(d\left( {AC,BD} \right) = \frac{1}{2}HK = \frac{{2\sqrt 3 a}}{{\sqrt {31} }}.\) Chọn C.
Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
Lời giải
Giả sử \(A\left( {a;0;0} \right) \in Ox,\,\,B\left( {0;b;0} \right) \in Oy,\,C\left( {0;0;c} \right) \in Oz\) và \(\left( {a,b,c > 0} \right)\).
Ta có \(OA + OB + OC = a + b + c\).
Phương trình mặt phẳng (P) có dạng: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\).
Ta có \(M\left( {1;4;9} \right) \in \left( P \right) \Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c} = 1\). Do đó
\(\begin{array}{l}\left( {\frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c}} \right)\left( {a + b + c} \right) = \left( {{{\left( {\sqrt {\frac{1}{a}} } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt {\frac{4}{b}} } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt {\frac{9}{c}} } \right)}^2}} \right)\left( {{{\left( {\sqrt a } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt b } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt c } \right)}^2}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \ge {\left( {1 + 2 + 3} \right)^2} \Rightarrow a + b + c \ge {\left( {1 + 2 + 3} \right)^2}.\end{array}\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c} = 1\\\frac{1}{a} = \frac{2}{b} = \frac{3}{c}\\a + b + c = {\left( {1 + 2 + 3} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 6\\b = 12\\c = 18\end{array} \right. \Rightarrow \left( P \right):\frac{x}{6} + \frac{y}{{12}} + \frac{z}{{18}} = 1\).
Vậy mặt phẳng (P) đi qua điểm (6; 0; 0). Chọn B.
Lời giải
Số trang có 1 chữ số: 9 trang.
Số trang có 2 chữ số: 90 trang.
Số trang có 3 chữ số: 900 trang.
Số trang có 4 chữ số: 9000 trang.
Ta có: 2023 = 9 + 90 + 900 + 1024.
Số chữ số để đánh số trang là: 9.1+90.2+900.3+1024.4 = 6985.
Do đó ta điền như sau
Đánh số trang của một quyển sách từ trang 1 đến trang 2023.
Cần dùng 6985 chữ số để đánh số trang của quyển sách đó.
Câu 3
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập