Cho đường thẳng \[\Delta :\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z + 3}}{{ - 3}}\] và hai điểm \(A\left( {1; - 1; - 1} \right),B\left( { - 2; - 1;1} \right)\). Gọi C, D là hai điểm di động trên đường thẳng \(\Delta \) sao cho tâm mặt cầu tiếp xúc với các mặt của tứ diện ABCD luôn nằm trên tia Ox. Tính độ dài đoạn thẳng CD.    

Ta thấy \(M\left( {2;1; - 3} \right);\,N\left( {4;3; - 6} \right) \in \Delta \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AM} \left( {1;2; - 2} \right);\,\overrightarrow {AN} \left( {3;4; - 5} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AM} ;\overrightarrow {AN} } \right] = \overrightarrow {{n_1}} = \left( { - 2; - 1; - 2} \right)\).

\( \Rightarrow \) Mặt phẳng (AMN) (hay (ACD)) đi qua điểm \(A\left( {1; - 1; - 1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {{n_1}} \left( { - 2; - 1; - 2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình: \(2x + y + 2z + 1 = 0\).

Tương tự, ta có phương trình \((BCD):x + 2y + 2z + 2 = 0\).

Gọi tâm mặt cầu là \(I\left( {m;0;0} \right)\,\,\left( {m > 0} \right)\)

Vì mặt cầu tiếp xúc với các mặt của tứ diện ABCD nên

\(d\left( {I,\left( {ACD} \right)} \right) = d\left( {I,\left( {BCD} \right)} \right) \Leftrightarrow \frac{{\left| {2m + 1} \right|}}{3} = \frac{{\left| {m + 2} \right|}}{3} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 1\,\end{array} \right.\) .

Vì \(m > 0\) nên \(I\left( {1;0;0} \right)\) và \(d\left( {I,\left( {BCD} \right)} \right) = 1\).

Gọi \(C\left( {2t + 2;2t + 1; - 3t - 3} \right) \in \Delta \).

Ta có \(\overrightarrow {AB} \left( { - 3;0;2} \right);\,\overrightarrow {AC} \left( {2t + 1;2t + 2; - 3t - 2} \right)\)

\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \overrightarrow {{n_2}} = \left( { - 4t - 4; - 5t - 4; - 6t - 6} \right)\).

\( \Rightarrow \) Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm \(A\left( {1; - 1; - 1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {{n_2}} \left( { - 4t - 4; - 5t - 4; - 6t - 6} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình: \(\left( {4t + 4} \right)x + \left( {5t + 4} \right)y + \left( {6t + 6} \right)z + 7t + 6 = 0\).

Vì mặt cầu tiếp xúc với các mặt của tứ diện ABCD nên

\(d\left( {I,\left( {ABC} \right)} \right) = d\left( {I,\left( {BCD} \right)} \right) = 1 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1\\t = - \frac{8}{{11}}\end{array} \right. \Rightarrow CD = \frac{{3\sqrt {17} }}{{11}}.\) Chọn B.