Hai tiếp tuyến tại \[B\] và \[C\] của đường tròn \[\left( {O;R} \right)\] cắt nhau tại \[A.\] Khẳng định nào sau đây là sai?

Đáp án đúng là: D

Đổi: \[10{\rm{\;m}} = 0,01{\rm{\;km}}.\]

Gọi \[O\] là tâm Trái Đất và \[R\] là bán kính Trái Đất. Suy ra \[R = 6400{\rm{\;km}}.\]

Ta có điểm \[B\] biểu diễn vị trí con tàu và điểm \[A\] biểu diễn vị trí của thủy thủ.

Suy ra \[h = AB = 10{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\]

Lại có điểm \[A\] biểu diễn vị trí của thủy thủ và điểm \[C\] biểu diễn điểm xa nhất mà thủy thủ nhìn thấy. Khi đó độ dài đoạn \[AC\] gọi là tầm nhìn xa tối đa từ điểm \[A.\]

Vì \[AC\] là tiếp tuyến của đường tròn \[\left( {O;R} \right)\] tại \[C\] nên \[AC \bot OC\] tại \[C.\]

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác \[AOC\] vuông tại \[C,\] ta được: \[O{A^2} = A{C^2} + O{C^2}.\]

Suy ra \[A{C^2} = O{A^2} - O{C^2} = {\left( {OB + AB} \right)^2} - O{C^2}\]

\[A{C^2} = {\left( {R + h} \right)^2} - {R^2} = {\left( {6\,\,400 + 0,01} \right)^2} - 6\,\,{400^2} = 128,0001.\]

Khi đó \[AC \approx 11,314{\rm{\;(km)}}{\rm{.}}\]

Do đó tầm nhìn xa tối đa của thủy thủ đó bằng khoảng \[11,314{\rm{\;km}}.\]

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: C

Ta có \[MA,MB\] là hai tiếp tuyến của \[\left( O \right)\] cắt nhau tại \(M\) nên \[MA = MB\] và \[MO,\,\,OM\] lần lượt là tia phân giác của \[\widehat {AMB},\,\,\widehat {AOB}.\]

Khi đó \[\widehat {AMO} = \widehat {OMB} = \frac{{\widehat {AMB}}}{2} = \frac{{120^\circ }}{2} = 60^\circ .\]

Ta có \[MA\] là tiếp tuyến của \[\left( O \right)\] nên \[MA \bot OA\] tại \[A.\]

Vì tam giác \[OAM\] vuông tại \[A\] nên \[AM = AO \cdot \cot \widehat {AMO} = R \cdot \cot 60^\circ = \frac{{R\sqrt 3 }}{3}.\]

Suy ra \[MB = MA = \frac{{R\sqrt 3 }}{3}.\]

Vì tam giác \[OAM\] vuông tại \[A\] nên \[\widehat {AMO} + \widehat {AOM} = 90^\circ .\]

Suy ra \[\widehat {AOM} = 90^\circ - \widehat {AMO} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ .\]

Ta có \[OM\] là tia phân giác của \[\widehat {AOB}\] nên \[\widehat {AOB} = 2\widehat {AOM} = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ .\]

Xét tam giác \[OAB\] có \[OA = OB = R\] và \[\widehat {AOB} = 60^\circ \] nên tam giác \[OAB\] là tam giác đều.

Khi đó \[AB = OA = OB = R.\]

Ta có chu vi tam giác \[MAB\] là \(MA + MB + AB\)

Theo bài chu vi tam giác \[MAB\] bằng \[6\left( {3 + 2\sqrt 3 } \right){\rm{\;cm,}}\] suy ra:

\[\frac{{R\sqrt 3 }}{3} + \frac{{R\sqrt 3 }}{3} + R = 6\left( {3 + 2\sqrt 3 } \right)\,\]

\[R \cdot \left( {\frac{{2\sqrt 3 + 3}}{3}} \right) = 6\left( {3 + 2\sqrt 3 } \right)\]

\[R = 18{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\]

Vì vậy \[AB = R = 18{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\] Vậy ta chọn phương án C.