Một doanh nghiệp cần sản xuất một mặt hàng trong đúng 10 ngày và phải sử dụng hai máy \(A\) và \(B\). Máy \(A\) làm việc trong \(x\) ngày cho số tiền lãi là \({x^2} + 2x\) (triệu đồng), máy \(B\) làm việc trong \(y\) ngày cho số tiền lãi là \( - 27{y^2} + 326y\) (triệu đồng). Hỏi doanh nghiệp đó cần sử dụng máy \(A\) làm việc trong bao nhiêu ngày để số tiền lãi thu được nhiều nhất? Biết rằng hai máy \(A\) và \(B\) không đồng thời làm việc và máy \(B\) làm việc không quá 6 ngày.

__

Ta có \(h\left( t \right) = 2\cos \left( {\frac{{\pi t}}{{12}} + \frac{\pi }{3}} \right) + 5\)\( \Rightarrow h'\left( t \right) = - \frac{\pi }{6}\sin \left( {\frac{{\pi t}}{{12}} + \frac{\pi }{3}} \right)\).

\(h'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{{\pi t}}{{12}} + \frac{\pi }{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{{12}} + \frac{\pi }{3} = k\pi \)\( \Leftrightarrow t = - 4 + 12k\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Mà \(0 \le t \le 24\) nên \(0 \le - 4 + 12k \le 24 \Leftrightarrow \frac{1}{3} \le k \le \frac{7}{3}\)\( \Rightarrow k \in \left\{ {1\,;\,2} \right\}\).

Do đó \(h'\left( t \right) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 8\\t = 20\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow h\left( t \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {8\,;\,20} \right)\) hay trong khoảng từ \(8\,{\rm{h}}\) đến \(20\,{\rm{h}}\)độ sâu của mực nước trong kênh tăng dần.

Vậy \(a = 8\,;\,b = 20\) và \(a + b = 28\).

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Hàm số \(f\left( x \right)\) đạt cực đại tại \(x = 0\) và đạt cực tiểu tại \(x = 2\).

b) Phương trình \(f\left( x \right) = m\)có 3 nghiệm phân biệt \( - 2 < m < 2\), mà \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ { - 1;0;1} \right\}\).

c) \(f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c\)

Đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) có 2 điểm cực trị là \(\left( {0;2} \right)\) và \(\left( {2; - 2} \right)\) nên ta có hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 0 \right) = 2\\f\left( 2 \right) = - 2\\f'\left( 0 \right) = 0\\f'\left( 2 \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = 2\\8a + 4b + 2c + d = - 2\\c = 0\\12a + 4b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 3\\c = 0\\d = 2\end{array} \right.\) .

Phương trình của hàm số là \(y = f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2\).

d) \(y = f\left( {2\sin x + 1} \right)\) .

Đặt \(t = 2\sin x + 1 \Rightarrow y = f\left( t \right) = {t^3} - 3{t^2} + 2\).

Ta có \( - 1 \le \sin x \le 1 \Rightarrow - 1 \le 2\sin x + 1 \le 3 \Rightarrow - 1 \le t \le 3\).

Do đó \(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} f\left( t \right)\) và \(m = \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} f\left( t \right)\).

\[f'\left( t \right) = 3{t^2} - 6t\] \[ \Rightarrow f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0 \in \left( { - 1;3} \right)\\t = 2 \in \left( { - 1;3} \right)\end{array} \right.\].

\(f\left( 0 \right) = 2\); \(f\left( 2 \right) = - 2\);\(f\left( { - 1} \right) = - 2\);\(f\left( 3 \right) = 2\).

Suy ra \(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} f\left( t \right) = 2\) và \(m = \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} f\left( t \right) = - 2\) nên \(M + m = 0\).