Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình.

Một đội công nhân \(A\) và \(B\) làm chung một công việc và dự định hoàn thành trong \(12\) ngày. Khi làm chung được \(8\) ngày thì đội \(A\) được điều động đi làm việc khác, đội \(B\) tăng gấp đôi năng suất, do đó đội \(B\) đã hoàn thành phần việc còn lại trong \(8\) ngày tiếp theo. Hỏi với năng suất ban đầu thì mỗi đội làm một mình sẽ hoàn thành công việc đó trong bao lâu?

Gọi \(x,y\) (ngày) lần lượt là số ngày đội \(A\) và đội \(B\) làm một mình để hoàn thành công việc \[\left( {x,y > 0} \right)\].

Trong một ngày đội \(A\) làm được \(\frac{1}{x}\) công việc, đội \(B\) làm được \(\frac{1}{y}\) công việc.

Trong một ngày, hai đội làm chung được số phần công việc là: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\) (công việc).

Trong 8 ngày, số phần công việc hai đội làm được là: \(8\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right)\) (công việc).

Sau 8 ngày, phần công việc còn lại là: \(1 - 8\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right)\) (công việc).

Theo đề bài, khi làm một mình đội \(B\)tăng gấp đôi năng suất. Lúc này, trong 1 ngày, đội \(B\) làm được: \(2.\frac{1}{y} = \frac{2}{y}\) (công việc).

Trong 8 ngày tiếp theo, đội \(B\) đã hoàn thành phần việc còn lại, nên ta có phương trình:

\(1 - 8\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) = 8.\frac{2}{y}\) hay $\frac{8}{x}+\frac{24}{y}=1\left(1\right)$

Mà ban đầu hai đội dự định hoàn thành công việc trong 12 ngày khi làm chung. Do đó, ta có phương trình:

\(12\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) = 1\) hay $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{12}\left(2\right)$

Từ \(\left( 1 \right)\) và \[\left( 2 \right)\], ta có hệ phương trình sau: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{12}}\\\frac{8}{x} + \frac{{24}}{y} = 1\end{array} \right.\).

Từ phương trình thứ hai của hệ, ta có \(\frac{1}{x} = \frac{1}{{12}} - \frac{1}{y}\) vào phương trình \(\left( 1 \right)\), ta được:

\(8\left( {\frac{1}{{12}} - \frac{1}{y}} \right) + \frac{{24}}{y} = 1\) hay \(\frac{2}{3} + \frac{{16}}{y} = 1\) suy ra \(\frac{{16}}{y} = \frac{1}{3}\) khi \(y = 48\) (TMĐK).

Thay \(y = 48\) vào phương trình \[\left( 2 \right)\] suy ra \(\frac{1}{x} = \frac{1}{{12}} - \frac{1}{{48}} = \frac{1}{{16}}\), suy ra \(x = 16\) (TMĐK).

Vậy đội \(A\) làm một mình sẽ hoàn thành công việc trong \(16\) ngày, đội \(B\) làm một mình sẽ hoàn thành công việc trong \(48\)ngày.