(0,5 điểm) Bạn Nam làm một căn nhà đồ chơi bằng gỗ có phần mái là một chóp tứ giác đều. Biết các cạnh bên của mái nhà bạn Nam dùng các thanh gỗ có chiều dài \(16{\rm{ cm}}\). Bạn Nam dự định dùng giấy màu để phủ kín phần mái nhà. Gọi độ dài cạnh đáy của phần mái là \(2x{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)\). Hỏi diện tích giấy màu cần sử dụng nhiều nhất là bao nhiêu?

Gọi \(x,y\) (ngày) lần lượt là số ngày đội \(A\) và đội \(B\) làm một mình để hoàn thành công việc \[\left( {x,y > 0} \right)\].

Trong một ngày đội \(A\) làm được \(\frac{1}{x}\) công việc, đội \(B\) làm được \(\frac{1}{y}\) công việc.

Trong một ngày, hai đội làm chung được số phần công việc là: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\) (công việc).

Trong 8 ngày, số phần công việc hai đội làm được là: \(8\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right)\) (công việc).

Sau 8 ngày, phần công việc còn lại là: \(1 - 8\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right)\) (công việc).

Theo đề bài, khi làm một mình đội \(B\)tăng gấp đôi năng suất. Lúc này, trong 1 ngày, đội \(B\) làm được: \(2.\frac{1}{y} = \frac{2}{y}\) (công việc).

Trong 8 ngày tiếp theo, đội \(B\) đã hoàn thành phần việc còn lại, nên ta có phương trình:

\(1 - 8\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) = 8.\frac{2}{y}\) hay $\frac{8}{x}+\frac{24}{y}=1\left(1\right)$

Mà ban đầu hai đội dự định hoàn thành công việc trong 12 ngày khi làm chung. Do đó, ta có phương trình:

\(12\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) = 1\) hay $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{12}\left(2\right)$

Từ \(\left( 1 \right)\) và \[\left( 2 \right)\], ta có hệ phương trình sau: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{12}}\\\frac{8}{x} + \frac{{24}}{y} = 1\end{array} \right.\).

Từ phương trình thứ hai của hệ, ta có \(\frac{1}{x} = \frac{1}{{12}} - \frac{1}{y}\) vào phương trình \(\left( 1 \right)\), ta được:

\(8\left( {\frac{1}{{12}} - \frac{1}{y}} \right) + \frac{{24}}{y} = 1\) hay \(\frac{2}{3} + \frac{{16}}{y} = 1\) suy ra \(\frac{{16}}{y} = \frac{1}{3}\) khi \(y = 48\) (TMĐK).

Thay \(y = 48\) vào phương trình \[\left( 2 \right)\] suy ra \(\frac{1}{x} = \frac{1}{{12}} - \frac{1}{{48}} = \frac{1}{{16}}\), suy ra \(x = 16\) (TMĐK).

Vậy đội \(A\) làm một mình sẽ hoàn thành công việc trong \(16\) ngày, đội \(B\) làm một mình sẽ hoàn thành công việc trong \(48\)ngày.

a) Từ hình vẽ, ta xét tam giác vuông \(ABC\), có:

\(AC = AB.\tan \widehat {CBA} = 48.\tan 80^\circ \approx 272,22{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right){\rm{.}}\)

Do người đó có tầm mắt \[1,65{\rm{ m}}\] nên chiều cao của tòa nhà là:

\[272,22 - 1,65 = 270,57{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\].

Vậy tòa nhà Lotte Center cao \[270,57{\rm{ m}}\].

b) Khoảng cách từ xe thu gom phế thải ở \[E\] đến chân tòa nhà là độ dài đoạn \[EA\].

Xét tam giác vuông \[EAD\], ta có:

\[EA = \frac{{AD}}{{\tan \widehat {DEA}}} = \frac{{200}}{{\tan 65^\circ }} \approx 93,26{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right){\rm{.}}\]

Khoảng cách của hai xe phế thải là: \[93,26 - 48 = 45,26{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right){\rm{.}}\]

Vậy hai xe phế thải cách nhau \[45,26{\rm{ m}}\].