B. PHẦN TỰ LUẬN (7,0 điểm)
(1,5 điểm) Cho hai biểu thức \(P = \frac{1}{{\sqrt x + 1}}\) và \(Q = \frac{{\sqrt x + 2}}{{x - 5\sqrt x + 6}} + \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{\sqrt x + 2}}{{3 - \sqrt x }}\) với
\(x \ge 0;\,\,x \ne 4;\,\,x \ne 9.\)
a) Tính giá trị của \(P\) tại \(x = 25.\)
b) Rút gọn biểu thức \(Q\).
c) Biết \(A = \frac{P}{Q}\). Tìm số nguyên \(x\) để \(\left| A \right| > A.\)
B. PHẦN TỰ LUẬN (7,0 điểm)
(1,5 điểm) Cho hai biểu thức \(P = \frac{1}{{\sqrt x + 1}}\) và \(Q = \frac{{\sqrt x + 2}}{{x - 5\sqrt x + 6}} + \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{\sqrt x + 2}}{{3 - \sqrt x }}\) với
\(x \ge 0;\,\,x \ne 4;\,\,x \ne 9.\)
a) Tính giá trị của \(P\) tại \(x = 25.\)
b) Rút gọn biểu thức \(Q\).
c) Biết \(A = \frac{P}{Q}\). Tìm số nguyên \(x\) để \(\left| A \right| > A.\)
Câu hỏi trong đề: Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
a) Thay \(x = 25\) (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \(P\), ta có:
\(P = \frac{1}{{\sqrt {25} + 1}} = \frac{1}{{5 + 1}} = \frac{1}{6}.\)
Vậy giá trị của biểu thức \(P = \frac{1}{6}\) tại \(x = 25.\)
b) Với \(x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9\), ta có:
\(Q = \frac{{\sqrt x + 2}}{{x - 5\sqrt x + 6}} + \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{\sqrt x + 2}}{{3 - \sqrt x }}\)
\( = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} + \frac{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \frac{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\)
\( = \frac{{\sqrt x + 2 + x - 9 - x + 4}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\)
\( = \frac{{\sqrt x - 3}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\)
\( = \frac{1}{{\sqrt x - 2}}\).
Vậy với \(x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9\) thì \(Q = \frac{1}{{\sqrt x - 2}}\).
c) Với \(x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9\), ta có:
\(A = \frac{P}{Q} = \frac{1}{{\sqrt x + 1}}:\frac{1}{{\sqrt x - 2}} = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 1}}\).
Để \(\left| A \right| > A\) thì \(A < 0\) hay \(\frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 1}} < 0\).
Mà \(\frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 1}} < 0\) khi \(\sqrt x - 2\) và \(\sqrt x + 1\) trái dấu.
Nhận thấy \(\sqrt x + 1 > 0\) nên \(\sqrt x - 2 < 0\), suy ra \(\sqrt x < 2\) hay \(x < 4.\)
Kết hợp điều kiện \(x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9\), ta có: \(0 \le x < 4\).
Mà \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ {0;\,\,1;\,\,2;\,\,3} \right\}.\)
Vậy \(x \in \left\{ {0;\,\,1;\,\,2;\,\,3} \right\}\) thì \(\left| A \right| > A.\)
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Hướng dẫn giải
– Gọi \(x\) là số lần giảm giá \(10\,\,000\) đồng \(\left( {x \in \mathbb{N},\,\,0 \le x < 20} \right).\)
Giá bán mỗi sản phẩm sau khi giảm giá là: \(200 - 10x\) (nghìn đồng).
Số lượng sản phẩm bán ra sau khi giảm giá là: \(100 + 20x\) (chiếc).
Doanh thu \(T\left( x \right)\) của cửa hàng được tính bằng cách nhân giá bán mỗi sản phẩm với số lượng sản phẩm bán ra:
\(T\left( x \right) = \left( {200 - 10x} \right)\left( {100 + 20x} \right)\)
\( = 200.\left( {100 + 20x} \right) - 10x\left( {100 + 20x} \right)\)
\( = 20\,\,000 + 4\,\,000x - 1\,\,000x - 200{x^2}\)
\( = 20\,\,000 + 3\,\,000x - 200{x^2}\)
\( = - 200\left( {{x^2} - 15x + {{7,5}^2}} \right) + 31\,\,250\)
\( = - 200{\left( {x - 7,5} \right)^2} + 31\,\,250\) (nghìn đồng).
Nhận thấy \( - 200{\left( {x - 7,5} \right)^2} + 31\,\,250 \le 31\,\,250\).
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x - 7,5 = 0\) khi \(x = 7,5\).
Do \(x\) phải là số nguyên dương nên \(x = 7,5\) không thỏa mãn.
– Ta thấy rằng \(T\left( x \right) = - 200{\left( {x - 7,5} \right)^2} + 31\,\,250\) lớn nhất khi \({\left( {x - 7,5} \right)^2}\) nhỏ nhất.
Do giá trị của \(T\left( x \right)\) phụ thuộc \(x - 7,5\) và \(x\) nguyên nên ta xét các trường hợp sau:
⦁ Với \(x - 7,5 > 0\) hay \(x > 7,5\)
Mà \(x\) nguyên dương và \({\left( {x - 7,5} \right)^2}\) nhỏ nhất, nên ta lấy giá trị \(x = 8.\)
Khi đó, \(T\left( 8 \right) = 31\,\,200\) (nghìn đồng).
⦁ Với \(x - 7,5 < 0\) hay \(x < 7,5\)
Mà \(x\) nguyên dương và \({\left( {x - 7,5} \right)^2}\) nhỏ nhất, nên ta lấy giá trị \(x = 7.\)
Khi đó, \(T\left( 7 \right) = 31\,\,200\) (nghìn đồng).
Nhận thấy cả hai giá trị \(x = 7,\,\,x = 8\) đều cho doanh thu \(T = 31\,\,200\) (nghìn đồng) hay \(T = 31\,\,200\,\,000\) đồng. Do đó, cửa hàng nên giảm giá \(70\,\,000\) đồng hoặc \(80\,\,000\) đồng để thu được doanh thu cao nhất.
Lời giải
Lại có \(\widehat {DOB} + \widehat {ODB} = 90^\circ \) (tổng hai góc nhọn trong \(\Delta OBD\) vuông tại \(B)\)
Do đó \(\widehat {AOC} = \widehat {ODB}\).
Xét \(\Delta CAO\) và \(\Delta OBD\) có: \(\widehat {CAO} = \widehat {OBD} = 90^\circ \) và \(\widehat {AOC} = \widehat {BDO}\).
Do đó (g.g)
Suy ra \(\frac{{CA}}{{OB}} = \frac{{AO}}{{BD}}\) nên \(CA \cdot BD = OA \cdot OB = {R^2}\)
⦁ Vì suy ra \(\frac{{CA}}{{OB}} = \frac{{CO}}{{OD}}\)
Mà \(OA = OB = R\) nên \(\frac{{CA}}{{OA}} = \frac{{CO}}{{DO}}\).
Xét \(\Delta CAO\) và \(\Delta COD\) có: \(\widehat {CAO} = \widehat {COD} = 90^\circ \) và \(\frac{{CA}}{{OA}} = \frac{{CO}}{{DO}}\)
Do đó (c.g.c)
Suy ra \(\widehat {ACO} = \widehat {DCO}\) (hai góc tương ứng).
Kẻ \(OH \bot CD\) tại \(H\).
Xét \(\Delta CAO\) và \(\Delta CHO\) có:
\(\widehat {CAO} = \widehat {CHO} = 90^\circ \), \(CO\) là cạnh chung và \(\widehat {ACO} = \widehat {DCO}\)
Do đó \(\Delta CAO = \Delta CHO\) (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra \(AO = HO\) (hai cạnh tương ứng).
Như vậy, \(CD \bot OH\) tại \(H\) và \(H\) thuộc đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) (do \(OH = OA = R)\) nên \(CD\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( {O;R} \right)\).
c) Xét \(\Delta CAO\) vuông tại \(A,\) ta có:
\(CA = OA \cdot \cot \widehat {ACO} = R \cdot \cot 60^\circ = \frac{{R\sqrt 3 }}{3}.\)
Theo câu b, ta có \(CA \cdot BD = {R^2}\) nên \[BD = \frac{{{R^2}}}{{CA}} = \frac{{{R^2}}}{{\frac{{R\sqrt 3 }}{3}}} = R\sqrt 3 .\]
Diện tích hình thang vuông \(ABDC\) là:
\({S_1} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot \left( {CA + BD} \right) = \frac{1}{2} \cdot 2R \cdot \left( {\frac{{R\sqrt 3 }}{3} + R\sqrt 3 } \right) = \frac{{4{R^2}\sqrt 3 }}{3}{\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)
Diện tích nửa đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) đường kính \(AB\) là: \({S_2} = \frac{{\pi {R^2}}}{2}{\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)
Diện tích hình được giới hạn bởi tứ giác \(ABDC\) và đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) là:
\(S = {S_1} - {S_2} = \frac{{4{R^2}\sqrt 3 }}{3} - \frac{{\pi {R^2}}}{2} = \frac{{4 \cdot {2^2} \cdot \sqrt 3 }}{3} - \frac{{\pi \cdot {2^2}}}{2} \approx 3,0{\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập