Cho hai biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x + 5}}{{2\sqrt x - 1}}\) và \(B = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{3\sqrt x + 1}}{{x - 1}}\) với \(x \ge 0;x \ne 1;x \ne \frac{1}{4}.\)

a) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = \frac{1}{{16}}.\)

b) Chứng minh rằng \(B = \frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}.\)

c) Tìm \(x\) để biểu thức \(M = A.B\) đạt giá trị lớn nhất.

Hướng dẫn giải

a) Với \(x = \frac{1}{{16}}\) (TMĐK), thay vào vào biểu thức \(A\), ta được:

\(A = \frac{{\sqrt {\frac{1}{{16}}} + 5}}{{2\sqrt {\frac{1}{{16}}} - 1}} = \frac{{\frac{1}{4} + 5}}{{2.\frac{1}{4} - 1}} = \frac{{\frac{5}{4}}}{{ - \frac{1}{2}}} = - \frac{5}{2}.\)

Vậy với giá trị \(x = \frac{1}{{16}}\) thì \(A = - \frac{5}{2}.\)

b) Với \(x \ge 0;x \ne 1;x \ne \frac{1}{4}\), ta có:

\(B = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{3\sqrt x + 1}}{{x - 1}}\)

   \( = \frac{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} - \frac{{3\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)

   \( = \frac{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2} - \left( {3\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)

   \( = \frac{{x + 2\sqrt x + 1 + x - 2\sqrt x + 1 - 3\sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)

   \( = \frac{{2x - 3\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)\( = \frac{{2x - 2\sqrt x - \sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)

   \( = \frac{{2\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right) - \left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)\( = \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {2\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)\( = \frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}.\)

Vậy với \(x \ge 0;x \ne 1;x \ne \frac{1}{4}\) thì \(B = \frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}.\)

c) Với \(x \ge 0;x \ne 1;x \ne \frac{1}{4}\), ta có:

\(M = A.B = \frac{{\sqrt x + 5}}{{2\sqrt x - 1}}.\frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x + 1}} = 1 + \frac{4}{{\sqrt x + 1}}.\)

Với \(x \ge 0\) thì \(\sqrt x + 1 \ge 1\), suy ra \(\frac{{\sqrt x + 1}}{4} \ge \frac{1}{4}\) suy ra \(\frac{4}{{\sqrt x + 1}} \le 4\).

Do đó, \(1 + \frac{4}{{\sqrt x + 1}} \le 5\) hay \(M \le 5\).

Dấu “=” xảy ra khi \(\sqrt x = 0\) hay \(x = 0\) (thỏa mãn điều kiện).

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(M\) bằng \(5\) khi \(x = 0.\)