(2,0 điểm) Cho nửa đường tròn \(\left( O \right)\) và đường kính \(AB\). Từ \[A\] và \[B\] kẻ hai tiếp tuyến \[Ax,\,\,By\]. Qua điểm \[M\] thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến \[Ax,\,\,By\] lần lượt ở \[C\] và \[D\]. Các đường thẳng \[AD\] và \[BC\] cắt nhau tại \[N\].
a) Chứng minh rằng \(\widehat {COD} = 90^\circ \) và \[AC \cdot BD = \frac{{A{B^2}}}{4}.\]
b) Chứng minh rằng \[MN \bot AB.\]
c) Cho \[OD = 2OM\]. Tính diện tích hình quạt giới hạn bởi các bán kính \[OM,OA\] và cung nhỏ \[MA.\]
(2,0 điểm) Cho nửa đường tròn \(\left( O \right)\) và đường kính \(AB\). Từ \[A\] và \[B\] kẻ hai tiếp tuyến \[Ax,\,\,By\]. Qua điểm \[M\] thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến \[Ax,\,\,By\] lần lượt ở \[C\] và \[D\]. Các đường thẳng \[AD\] và \[BC\] cắt nhau tại \[N\].
a) Chứng minh rằng \(\widehat {COD} = 90^\circ \) và \[AC \cdot BD = \frac{{A{B^2}}}{4}.\]
b) Chứng minh rằng \[MN \bot AB.\]
c) Cho \[OD = 2OM\]. Tính diện tích hình quạt giới hạn bởi các bán kính \[OM,OA\] và cung nhỏ \[MA.\]
Câu hỏi trong đề: Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Ta có \(CA,\,\,CM\) là hai tiếp tuyến của nửa đường tròn \(\left( O \right)\) cắt nhau tại \(C\) nên \(CA = CM\) và \(OC\) là tia phân giác của \[\widehat {AOM}\], do đó \(\widehat {AOC} = \widehat {COM} = \frac{1}{2}\widehat {AOM}.\)
Tương tự, ta có \(DB = DM\) và \[OD\] là tia phân giác của \[\widehat {BOM}\], do đó \(\widehat {BOD} = \widehat {MOD} = \frac{1}{2}\widehat {BOM}.\)
Mà \[\widehat {AOM}\] và \[\widehat {BOM}\] là hai góc kề bù nên \[\widehat {AOM} + \widehat {BOM} = 180^\circ .\]
Khi đó, ta có: \[\widehat {COM} + \widehat {MOD} = \frac{1}{2}\widehat {AOM} + \frac{1}{2}\widehat {BOM} = \frac{1}{2}\left( {\widehat {AOM} + \widehat {BOM}} \right) = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ .\]
Hay \(\widehat {COD} = 90^\circ .\)
Vì \(CD\) là tiếp tuyến của nửa đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(M\) nên \[CD \bot OM.\]
Xét \(\Delta COM\) và \(\Delta ODM\) có:
\[\widehat {CMO} = \widehat {OMD} = 90^\circ \] và \(\widehat {OCM} = \widehat {DOM}\) (cùng phụ với \(\widehat {COM}\))
Do đó (g.g)
Suy ra \(\frac{{CM}}{{OM}} = \frac{{OM}}{{DM}}\) hay \[O{M^2} = CM.DM\].
Mà \[AC = CM\] và \[BD = MD\] (chứng minh trên)
Do đó, \[O{M^2} = CM.DM = AC.BD\] hay \[{R^2} = AC \cdot BD\]. (1)
Mặt khác, \(AB\) là đường kính của nửa đường tròn \(\left( O \right)\) nên \[AB = 2R,\] suy ra \[A{B^2} = 4{R^2}\] nên \[{R^2} = \frac{{A{B^2}}}{4}.\] (2)
Từ (1) và (2) suy ra \[AC.BD = \frac{{A{B^2}}}{4}\].
b) Ta có: \[AC \bot AB,\,\,BD \bot AB\] nên \[AC\,{\rm{//}}\,BD\]
Theo hệ quả định lí Thalès, ta có \[\frac{{CN}}{{BN}} = \frac{{AC}}{{BD}}\].
Mà \[CA = CM\], \[BD = DM\] (chứng minh câu a)
Do đó ta có \[\frac{{CN}}{{BN}} = \frac{{CM}}{{DM}},\] suy ra \[MN\,{\rm{//}}\,BD\] (định lí Thalès đảo).
Lại có \[BD \bot AB\] nên \[MN \bot AB.\]
c) Xét tam giác \[MOD\], có: \[\cos \widehat {MOD} = \frac{{MO}}{{OD}} = \frac{{MO}}{{2MO}} = \frac{1}{2}\], suy ra \[\widehat {MOD} = 60^\circ \].
Theo câu a, \[OD\] là tia phân giác của \[\widehat {BOM}\] nên \[\widehat {BOM} = 2\widehat {MOD} = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ .\]
Mà \[\widehat {AOM} + \widehat {BOM} = 180^\circ \] (câu a)
Suy ra \[\widehat {AOM} = 180^\circ - \widehat {BOM} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \].
Mà \(\widehat {AOM}\) là góc ở tâm chắn cung \(AM\) nhỏ nên
Diện tích hình quạt giới hạn bởi bán kính \[OM,OA\] và cung nhỏ \[MA\] là:
\[S = \frac{{60 \cdot \pi \cdot {R^2}}}{{360}} = \frac{{\pi {R^2}}}{6}\] (đơn vị diện tích).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Hướng dẫn giải
Xét tam giác \(ADC\) vuông tại \(C\), ta có:
\(AC = CD \cdot \cot \widehat {DAC} = h \cdot \cot 60^\circ {\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right).\)
Xét tam giác \(BDC\) vuông tại \(C\), ta có:
\(BC = CD \cdot \cot \widehat {DBC} = h \cdot \cot 75^\circ {\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right).\)
Do \(AB = AC - BC\) nên \(h \cdot \cot 60^\circ - h \cdot \cot 75^\circ = 101\)
Hay \(h \cdot \left( {\cot 60^\circ - \cot 75^\circ } \right) = 101\).
Suy ra \(h = \frac{{101}}{{\cot 60^\circ - \cot 75^\circ }} \approx 326\) (m).
Vậy tháp Eiffel có độ cao khoảng \(326\) (m).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Hướng dẫn giải
Chiều dài của đáy bể là \(2x{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)
Diện tích đáy của bể là \(2{x^2}{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right).\)
Chiều cao của bể là: \(\frac{{72}}{{2{x^2}}} = \frac{{36}}{{{x^2}}}{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).
Diện tích xung quanh của bể là: \(2 \cdot \frac{{36}}{{{x^2}}} \cdot \left( {x + 2x} \right) = \frac{{72 \cdot 3x}}{{{x^2}}} = \frac{{216}}{x}{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right).\)
Diện tích cần xây bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy của bể, và bằng:
\(\frac{{216}}{x}{\rm{ + }}2{x^2}{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right).\)
Do \(x\) là chiều rộng của bể nên \(x > 0\), áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
\(2{x^2} + \frac{{216}}{x} = 2{x^2} + \frac{{108}}{x} + \frac{{108}}{x} \ge 3\sqrt[3]{{2{x^2} \cdot \frac{{108}}{x} \cdot \frac{{108}}{x}}}{\rm{ }}\)
Suy ra \(2{x^2} + \frac{{216}}{x} \ge 3\sqrt[3]{{23\,\,328}} \approx 85,72\)
Dấu “=” xảy ra khi \(2{x^2} = \frac{{108}}{x} = \frac{{108}}{x}\) hay \(2{x^3} = 108\), tức là \(x = \sqrt[3]{{54}} \approx 3,78{\rm{ m}}{\rm{.}}\)
Vậy muốn diện tích cần xây là tiết kiệm chi phí nhất thì \(x \approx 3,78{\rm{ m}}{\rm{.}}\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập