(1,0 điểm) Trong một lần đến tham quan tháp Eiffel (Paris, Pháp), bạn Vân muốn ước tính độ cao của tháp. Sau khi quan sát, bạn Vân đã minh họa lại kết quả đo đạc như hình dưới đây. Em hãy giúp bạn Vân tính độ cao \(h\) của tháp Eiffel theo đơn vị mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Hướng dẫn giải

Chiều dài của đáy bể là \(2x{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Diện tích đáy của bể là \(2{x^2}{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right).\)

Chiều cao của bể là: \(\frac{{72}}{{2{x^2}}} = \frac{{36}}{{{x^2}}}{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).

Diện tích xung quanh của bể là: \(2 \cdot \frac{{36}}{{{x^2}}} \cdot \left( {x + 2x} \right) = \frac{{72 \cdot 3x}}{{{x^2}}} = \frac{{216}}{x}{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right).\)

Diện tích cần xây bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy của bể, và bằng:

\(\frac{{216}}{x}{\rm{ + }}2{x^2}{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right).\)

Do \(x\) là chiều rộng của bể nên \(x > 0\), áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

\(2{x^2} + \frac{{216}}{x} = 2{x^2} + \frac{{108}}{x} + \frac{{108}}{x} \ge 3\sqrt[3]{{2{x^2} \cdot \frac{{108}}{x} \cdot \frac{{108}}{x}}}{\rm{ }}\)

Suy ra \(2{x^2} + \frac{{216}}{x} \ge 3\sqrt[3]{{23\,\,328}} \approx 85,72\)

Dấu “=” xảy ra khi \(2{x^2} = \frac{{108}}{x} = \frac{{108}}{x}\) hay \(2{x^3} = 108\), tức là \(x = \sqrt[3]{{54}} \approx 3,78{\rm{ m}}{\rm{.}}\)

Vậy muốn diện tích cần xây là tiết kiệm chi phí nhất thì \(x \approx 3,78{\rm{ m}}{\rm{.}}\)

Gọi \(x\) là vận tốc của xe tải, \(y\) là vận tốc của xe khách (\(y > x > 0\), km/h).

Theo đề, mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải là \(15\) km nên \(y - x = 15.\) (1)

Thời gian xe khách đã đi là: 1 giờ 40 phút + 40 phút = 2 giờ 20 phút = \(\frac{7}{3}\) giờ.

Khi hai xe gặp nhau, xe khách đi được quãng đường là: \(\frac{7}{3}y\) (km) và xe tải đi được quãng đường là \(\frac{2}{3}x\) (km).

Theo bài, quãng đường Thành phố Hồ Chí Minh – Cần Thơ dài 170 km nên ta có phương trình: \(\frac{2}{3}x + \frac{7}{3}y = 170\). (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau \(\left\{ \begin{array}{l}y - x = 15\\\frac{2}{3}x + \frac{7}{3}y = 170\end{array} \right.\).

Từ phương trình (1), ta có: \(y = 15 + x\), thế vào phương trình (2), ta được:

\(\frac{2}{3}x + \frac{7}{3}\left( {15 + x} \right) = 170\)

\(\frac{2}{3}x + 35 + \frac{7}{3}x = 170\)

\(3x = 135\)

\(x = 45\) (thỏa mãn).

Thay \(x = 45\) vào phương trình (1), ta được: \(y = 15 + 45 = 60\) (thỏa mãn).

Vậy vận tốc của xe tải là \(45\)km/h, vận tốc của xe khách là \(60\) km/h.